弹性力学与有限元分析试题及参考答案.doc

弹性力学与有限元分析试题及参考答案
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
(1),,;
(2),,;
其中,A,B,C,D,E,F为常数。
解:应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:(1)在区域内的平衡微分方程;(2)在区域内的相容方程;(3)在边界上的应力边界条件;(4)对于多连体的位移单值条件。
(1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程,必须A=-F,D=-E。此外还应满足应力边界条件。
(2)为了满足相容方程,其系数必须满足A+B=0;为了满足平衡微分方程,其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的,因此,此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量,,,体力不计,Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1,C2,C3。
解:将所给应力分量代入平衡微分方程
得
即
由x,y的任意性,得
由此解得,,,
3、已知应力分量,,,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
解:将已知应力分量,,,代入平衡微分方程
可知,已知应力分量,,一般不满足平衡微分方程,只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程:
将已知应力分量,,代入上式,可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题的相容方程:
将已知应力分量,,代入上式,可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
(1),,;
(2),,;
(3),,;
其中,A,B,C,D为常数。
解:应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件,即
将以上应变分量代入上面的形变协调方程,可知:
(1)相容。
(2)(1分);这组应力分量若存在,则须满足:B=0,2A=C。
(3)0=C;这组应力分量若存在,则须满足:C=0,则,,(1分)。
5、证明应力函数能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,)。
l/2
l/2
h/2
h/2
y
x
O
解:将应力函数代入相容方程
可知,所给应力函数能满足相容方程。
由于不计体力,对应的应力分量为
,,
对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为:
上边,,,,,;
下边,,,,,;
左边,,,,,;
右边,,,,,。
可见,上下两边没有面力,而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此,应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力(b>0)和均布压力(b<0)的问题。
6、证明应力函数能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,)。
l/2
l/2
h/2
h/2
y
x
O
解:将应力函数代入相容方程
可知,所给应力函数能满足相容方程。
由于不计体力,对应的应力分量为
,,
对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为:
上边,,,,,;
下边,,,,,;
左边,,,,,;
右边,,,,,。
可见,在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此,应力函数能解决矩形板受均布剪力的问题。
7、如图所示的矩形截面的长坚柱,密度为,在一边侧面上受均布剪力,试求应力分量。
O
x
y
b
q
rg
解:根据结构的特点和受力情况,可以假定纵向纤维互不挤压,即设。由此可知
将上式对y积分两次,可得如下应力函数表达式
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
直角三角形固定在刚性基础上,受齐顶的水压力和自重作用,。若按一个单元计算,水的容重,三角形平面构件容重,取泊松比=1/6,试求顶点位移和固定面上的反力。
解:按逆时针编码,局部编码与整体编码相同:1-2-3
建立坐标
求形函数矩阵:
图()
形函数:

所以:
形函数的矩阵为:
刚度矩阵



可得:


(3)位移列向量和右端项
由边界条件可确定:
水压力和构件厚分别为:

自重为W与支座反力:


所以:
由得到下列矩阵方程组:
化简得:
可得:

将代入下式:
固定面上的反力:
从而可得支座反力为:
这是y的线性方程,但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应该满足它),可见它的系数和自由项都应该等于零,即
,
这两个方程要求
,
代入应力函数表达式,并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后,便得
对应应力分量为