数列几种递推公式.docx

数列的几种递推公式
一、
解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列满足,,求。
二、

解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列满足,,求。
例3:已知, ,求。
解:
。
变式:已知数列{an},满足a1=1, (n≥2),则{an}的通项
解:由已知,得,
用此式减去已知式,得
当时,,即,
又,
,
将以上n个式子相乘,得
三、(其中p,q均为常数,)。
解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
,,,求.
解:设递推公式可以转化为
即.
故递推公式为,
令,则,且.
所以是以为首项,2为公比的等比数列,
则,所以.
变式:在数列中,若,则该数列的通项_______________(key:)
四、类型4 (其中p,q均为常数,)。
(或,其中p,q, r均为常数) 。
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,
得:引入辅助数列(其中),
得:再待定系数法解决。
例5:已知数列中,,,求。
解:在两边乘以得:
令,则,解之得:
所以
五、递推公式为与的关系式。(或)
解法:利用与
消去或与消去进行求解。
例6. 数列前n项和.
(1)求与的关系;(2)求通项公式.
解:(1)由得:
于是,
所以.
(2)应用类型((其中p,q均为常数,))的方法,上式两边同乘以得:
,2为公差的等差数列,所以
六、倒数变换:
将递推数列,取倒数变成
的形式的方法叫倒数变换.
例7. 已知数列中, ,,求数列的通项公式.
【解析】:将取倒数得: ,,
是以为首项,公差为2的等差数列.
,.
跟踪训练已知数列中, ,,求数列的通项公式.
二、数列的求和
(1)公式法:必须记住几个常见数列前n项和
; ;

(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)若a1与a5的等差中项为18,bn满足,求数列的{bn}前n项和.
(Ⅰ)解法一:
当时,,
当时,.
是等差数列,
,············4分
解法二:当时,,
当时,.
当时,.
.
又,
所以,得.············4分
(Ⅱ)解:,.又,,
············8分
又得.,,即是等比数列.
所以数列的前项和
(2)分组求和:
如:求1+1,,,…,,…的前n项和
(注:)
(3)裂项法:
如求Sn
常用的裂项有
;
;