窗口傅立叶变换.doc

窗口(短时)傅立叶变换
要点:
◇传统傅里叶分析的不足。
◇加窗时频分析和窗口傅里叶变换。
◇时频窗口的中心和位置的定义。
◇离散窗口傅里叶变换以及其时域-频域加窗原理。
在进行非平稳信号(频率随时间改变的信号)的分析时通常采用时频处理方法,它将一维时域信号分解为二维时域-频域联合分布表示。传统傅里叶分析不适用于频率时变信号的分析,它只能给出一个总的平均效果。但是可以在时域和频域内进行加窗处理,窗内的信号认为是准平稳的,对它们可以采用平稳信号的分析方法,如频谱分析和功率谱分析。这就是窗口傅里叶变换。
时窗、频窗的中心和宽度是时频窗的重要参数和指标。对 Gabor变换(后详)而言,时、频窗都是固定的,不随时移和平移的改变而改变。
本章从卷积角度定义了窗口傅里叶变换。在离散化处理中,从数字化滤波器的角度分别对时窗处理和频窗处理进行了分析。
时频分析
传统傅里叶分析的局限性
传统的傅里叶分析在平稳信号的分析和处理中具有重要作用。它将时间域内复杂信号的分析转换为频率域内的具有简单参数的频谱密度的分析,或者分解为频域内的具有简单形状的信号(如正弦
、余弦信号)之和。这种从一个分析域转换到另一个分析域的方法是信号分析中的常用方法。从其中任何一个域都可以完整地描述信号的全部特征,一些参考书中将这种特性称为时频可分性。在泛函分析中,这种对偶域的分析方法是重要的分析手段。
现实世界中的很多信号,例如,脑电波信号、地震信号、语音信号等,都是非平稳的。这些信号的某些统计特性随着时间而变化,例如,信号的频率是时变的。这种时变信号是工程应用中大量存在的分析对象。对于这种信号的准确描述,必须使用具有局部性能的时域和频域的二维(t,w)联合表示,或者说必须提取特定时间段和频率段内的信号特性。这时,传统的傅里叶分析就显得无能为力了。根据傅里叶变换的公式为
式()所描绘的是整个时间段内频率的特性,或者说它是一种全局的变换,而没有刻画出特定时间段或频率段的特性。因此,传统的傅里叶变换在分析实际的时变信号时,具有很大的局限性,例如傅立叶变换对时间、频率具有相反的分辨率。对信号的局部特性分析必须使用另外的局部变换工具。
从实时的角度来看,对于实时性要求较高的处理场合,如语音识别等,要求处理结果具有很小的处理延时比如:10ms到20ms)。从式()的积分限可看出,传统的傅里叶变换需要将所有信号采集完成才能给出结果,这是实时处理所不能容忍的。一这也体现了传统傅
里叶分析的局限性。
时域-频域联合分析
对非平稳信号的分析,一种有效的方法是时域-频域二维联合分析。信号从一维时域表示f(t)分解为时域和频域的二维联合表示F(t,w),用以描述信号在不同时刻的频率分布情况。常用的时频分析手段有窗口傅里叶变换、小波变换和Wigner-Ville分布等。虽然时频分析将信号从一维表示分解到了二维。带来了大量的冗余,但是这种冗余对于查看信号的频率时变特性是有帮助的。
通过以上的分析,要将傅里叶分析应用于非平稳信号的分析,需要进行改进。在现实世界中,对大量时变信号的统计分析表明,虽然它们的频率特性随着时间而改变,但是这种改变是渐变的而非突变的,也就是说,在一个特定的足够小的区间(窗)内,可以认为信号的特性是不变的,信号是局部稳定的或称为准平稳的。例如,语音信号就是典型的时变信号,在10 ms~20 ms内,一般都认为是平稳的。因此,对于这些信号的分析,一种直观的解决方案是,将信号进行分段处理,也就是加窗处理。在足够小的窗内,认为信号的特性是平稳的。可以用传统的平稳信号方法对窗内信号进行分析和处理。对窗函数本身性质和作用机理的分析可以从时域和频域分别加以描述。

时窗处理
将信号在时域内进行分段,等效于用位置不同的窗函数g(t)与原信号f(t)相乘的结果,。在时域内,时窗函数一般选取具有能量局部化的函数。先选定一个基本窗函数g(t),然后将g(t)沿时间轴平移得到一组窗函数{g(t-b)}b∈R,其中b为时间位移,一般取离散值,使得窗函数组较好地覆盖时间轴。平移后的窗函数分别与原信号相乘,其结果就等效于提取了原信号的不同时间段内的信息而屏蔽了段外的信号。将每一段内的信号视为平稳的,对其进行傅里叶分析,从而得到信号的频谱,或者计算幅频特性的平方作为该段信号的功率谱。
上述并行的加窗处理原理可以用图2—2来表示。
其中,FT指的是经典(传统)的傅里叶变换。
最简单的时间窗是矩形窗函数,如图2—1所示。但是也可以根据需要选择其他的窗函数,如Gauss窗、Hanning窗、Blackman窗等。其中,矩形窗函数具有非常良好的