毕业论文—关于阶微分方程解研究.doc

学号:080301158
毕业论文
论文题目:关于一阶微分方程解的研究
姓名:袁婷
学科专业:数学教育
指导教师:桂旺生
完成时间:2011年5 月 20 日
摘要
本文运用罗尔定理,零点定理,拉格朗日中值定理,极值定理,泰勒公式来研究一
阶微分方程的解存在性,唯一性,总结了3种根的存在性及唯一性的证明思路,并举例
给以应用,进一步对方程解的个数进行了讨论。
关键词:解的存在性;解的唯一性;解的个数
目录
绪论…………………………………………………………………………………1
……………………………………………………………………………1
…………………………………………………………………1
一阶微分方程解的研究……………………………………………………………2
关于方程的解(或的零点)存在性的证明思路…………2
方程=0的解的唯一性的研究…………………………………………3
对方程的解的个数的讨论…………………………………………4
参考文献………………………………………………………………………………………7
第一章绪论
引言
研究微分方程解的目的就在于掌握它所反映的客观规律,能动地解释所出现的各种现象并预测未来的情况。牛顿建立微积分的同时,又简单的研究了微分方程用级数求解,后来瑞士学家雅各布贝努利,欧拉,法国数学家克雷洛,拉各朗日等人又不断的研究和丰富了微分方程的理论。
微分方程的存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的,本文主要来讨论方程是否有解,如果有解,是否唯一呢?如果不唯一,解的个数又是多少呢?

罗尔定理: 设函数满足如下条件:在闭区间[a b]上连续,在开区间(a b)内可导, ,则在(a b)内至少存在一个ε,使得;
零值定理:设函数在[a b]上连续,且则在(a b)内至少存在ε,使得 0 (a) ;
拉格朗日中值定理: 设函数满足条件:在闭区间[a b]上连续,在开区间(a b)内可,;在(a b)内至少存在ε,使得;
极值定理: 设函数在处可导,且在处取得极值,则;
泰勒公式:若函数在[ a b]上存在直至n阶的连续导函数,在(a b)内存在直至n阶的连续导函数,在(a b)内存在n+1阶的导函数,则对任意给定的[a b],至少一点(a b),使得
;
第二章一阶微分方程解的研究
研究方程的解,关键是看方程的根是否存在,若存在,是否唯一,若不唯一,
那么方程的解是几个呢?
关于方程的解(或的零点)存在性的证明思路
ⅰ知道在[a b]或(a b)上连续,而没有说明是否可导,则一般用闭区间上连续函数的零值定理证明
ⅱ做出的一个原函数。证明满足罗尔定理的条件,从而得出的零点证明。
ⅲ用反证法证明
例1: 设在[a b]上连续,=0, 证明:在(a b)内至少存在一点ε,使得
[分析] 本题仅在[a b]上连续,因而只能用零值定理证明
证:由假设与同号,不妨设由导数定义有由极限定理知一个
当时有又=0 必定
同理由,一个当时, 有
令 0 , 则当时,
当时, 又显然在()上连续, 由零值定理,在()内,从而在(a b)内至少一个ε,使得 0
例2 :设,在闭区间[ a b ] 上连续,在(a b)内可导,且对于(a b)的一切x 有
证明:方程=0的两个相邻的根之间至少有=0的一个实根
证明:设(a b),且是=0的两个相邻的实根,若()
没有的实根,则可以在[]对函数应用罗尔定理,于是存在
(),使得则有式子
与题中的条件相矛盾,则有命题得证
方程=0的解的唯一性的研究,
我们了解一下存在唯一性的定理,定理如下:
如果在R上连续且关于y满足利普希茨条件,则方程
()
存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,
这里
(利用罗尔定理证明=0至少存在一个解;
利用函数单调性证明=0最多有一个实数解;
③也可以利用反证法来证明=0最多有一个实数解.
下面的例题给以说明上面的证明唯一性的思路:
例3:设函数在闭区间[0 1]上可微,对于[0 1]上的每一个x,函数的值都在开区间(0 1)内,且,证明:在(0 1)内有且仅有一个x,使=x
证明:令,由题设知道在[0 1]上连续
又由于,所以,由闭区间上的连续函数的零值定理可知:在(0 1)内至少一点x,使=0,即
另:用反证法证明在(0 1)内至多有一个零点,若不然(0 1),且,使得,,由拉格朗日中值定理,至少存在一个,使得
与题中的条件相矛盾
综上所述,在(0 1)内有且仅有一个x,使=x.