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球面波
波面为球面的波被称为球面波。
简谐平面波是描述光波的基本模型。虽然任意复杂波可以用简谐平面波的叠加来描述,但有些两种特殊波面(比如球面波)的光波可用更简洁的数学式来描述。
理想点光源发出的波为球面波。
一个在真空或各向同性介质中的理想点光源,它向外发射的光波是球面光波,等相位面是以点光源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的同心球面。
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球坐标系中的波动微分方程
球面波具有球对称性,在球坐标系中,球面波的波函数只与 r 有关,与θ和φ无关。所以:
在球坐标系中,有:
代入上式,有:
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其通解:
向原点会聚
从原点发散
规定速度v的正负表示波的传播方向,球面波的波函数可进一步简化为:
. 简谐球面波
当波函数为正弦或余弦形式时,对应的球面波称为简谐球面波。
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简谐球面波的波函数:
简谐球面波的复指数描述:
简谐球面波的复振幅:
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(1)振幅
振幅不是一个常量,它随r 增加而减小;但在r相同的球面上,振幅是均匀的。A1是一个常量,代表r=1处的振幅,表征振动源的强弱,称为源强度。
简谐球面波振幅的这个特点是能量守恒定律所要求的。
(2)相位
简谐球面波的相位是:
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说明v是沿球面径向的位相传播速率。
当等相位面自球心向外传播时v>0,称为发散球面波,
当等相面向球心会聚时v<0,称为会聚球面波。
K仍为波数:
±代表发散和会聚球面波。
由于球面波振幅随r增大而减小,故严格说来:
球面波波函数不成现严格的空间周期性。
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在光学中,通常要求解光波在某个平面上的复振幅分布。
x
y
z
O
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x
y
z
O
将r代入上式,并设光源的初相为0,
这个表达式含有根式,相当复杂,不便于分析,考虑到光学研究的实际情况,常常对上式做适当简化。
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x
z
O
与平面波的共轭光波类似,对位于点S的点光源发出的球面波。
它在z=0平面上的复振幅分布:
其中:
其共轭:
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即:
这显然是一束会聚的球面波,会聚中心为:
前者表示沿原路返回的球面波,后者会聚中心S’与原光源S对z=0平面镜像对称。
x
z
O
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