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非惯性系中的机械能守恒定律
专业:物理学姓名:魏清坤
指导老师:韩峰
【摘要】推导非惯性系中的机械能守恒定理。指出机械能守恒定律在某些非惯性系中仍然适应,在非惯性系中应用机械能守恒定律可以简便地解决一些力学问题。
【关键词】非惯性系;惯性力;惯性力势能;机械能守恒定律
引言
机械能守恒定律是从牛顿运动定律中推导出来的。由于牛顿定律仅适应于惯性系,而在一些非惯性系中机械能守恒也适应,而且选取非惯性系可以使问题简单化。在非惯性系中引入惯性力,牛顿定律可以沿用,那么机械能守恒定律是否也可以沿用,用表达式又如何表示?本文将导出非惯性系中的机械能定理,引入惯性势能概念,给出非惯性系中机械能守恒定律的表达形式。
1材料与方法
非惯性系中的机械能定理

牛顿定理是在惯性系中适应的,在非惯性系中不适应。为了方便解决一些力学问题,我们扩大了牛顿定律的适应范围,使之在非惯性系中也适应,这就引入了惯性力的概念,我们认为在非惯性系中除了有真实的相互作用的力外,还受到惯性力的作用。一非惯性系相对于某一惯性系的加速度为,则惯性力为:
=- m (1)
其中的m为物体的质量,符号表示方向,与的方向相反。这时牛顿第二定律在非惯性系中就可以表示为:
+=- m (2)
上式中的为质点所受的合力,为质点相对于非惯性系的加速度。设质点在和的作用下,相对于惯性系有一位移元d=dt,其中是质点相对于非惯性系的速度,dt是产生这一位移所需的时间。用d点乘(2)式的两边得:
(+)d = md = md = md = d(m)
即 dA + dA= d(m) (3)
其中dA=d ,dA=d分别是合外力和惯性力对质点作的元功。对(3)式两边积分得:
A + A= mV- mV= E- E (4)
式即为非惯性系中单一质点的动能定理,这表明在非惯性系中动能定理只是比惯性系多了一项惯性力所做的功。

质点组就是由相互作用的质点组成的系统。设质点组有n个质点组成,在某一运动过程中,作用在各个质点的合力的功和惯性力的功记为A和A(i=1,2,3...n),根据(4)式,每个质点的动能定理:
A + A = E - E(i=1,2,3...n) (5)
式求和得:
+=-=E-E (6)
式为非惯性系中质点组的动能定理。与惯性系中质点组的动能定理相比仅多了惯性力的功。

在惯性系中,质点组的机械能守恒定理为:
+=(E+)- (7)
当和为零时,E和的和为恒量
对于非惯性系,如果和为零,则可得:
(8)
因此当合外力的功为零和非保守内力的功为零时机械能不再守恒,机械能的增量等于惯性力的功。下面我们将论证在相对于惯性系作匀加速运动和匀速转动的非惯性系中,惯性系也具有保守力的特征。为此我们引入惯性力势能的概念,把惯性力势能作为系统机械能的组成部分,则在外力做功和为零和非保守力做功为零的情况下系统的机械能守恒.

如图所示,直角坐标系为一匀加速直线平动运动参考系,加速度沿x轴正向。一质量为m的质点,自位置a沿平面曲线acb运动到b,则惯性力
的功等于:
A=
因为F=-ma ,