第9章矩阵位移法.ppt

结构力学
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第9章矩阵位移法
水利土木工程学院结构力学课程组
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第9章
矩阵位移法
本章提要
矩阵位移法的基本概念,结构离散化。
      平面杆系结构的单元分析:局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。
      平面杆系结构的整体分析:结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。
      边界条件的处理,单元内力计算。
      矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
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本章教学基本要求、重点和难点
第9章
矩阵位移法
矩阵位移法包含两个知识点:单元分析和整体分析。
在单元分析中,熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。熟练掌握已知结点位移后求单元杆端力的计算方法。
在整体分析中,熟练掌握结构整体刚度矩阵中元素的物理意义和集成过程,熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。掌握单元定位向量的建立,支撑条件的处理。
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记,但要领会其物理意义,并会由它来推出特殊单元的单元刚度矩阵。
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矩阵位移法
1、矩阵定义
一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为m 行和n列,称为mn 阶矩阵。
A
=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
m
m
mn
11
12
1
21
22
2
1
2
L
L
M
O
M
L
é
ë
ê
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
2、方阵
一个具有相同的行数和列数的矩阵即m=n时称为n阶方阵
3、行矩阵和列矩阵
一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵,如:
A
=
[
]
a
a
a
a
n
11
12
13
1
···
由单列组成的矩阵称为列矩阵,如:
矩阵代数复****br/>A
=
a
a
a
m
11
21
1
M
é
ë
ê
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
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矩阵位移法
4、矩阵乘法
两个规则:
(1)两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘,即
A
B
C
m
p
l
n
m
n
,
,
,
=
p
l
=
当
时才能相乘
AB
=
a
a
a
a
b
b
11
12
21
22
11
21
é
ë
ù
û
ú
é
ë
ù
û
ú
共形
2
×
2
2
×
1
B A=
b
b
a
a
a
a
11
21
11
12
21
22
é
ë
ù
û
ú
é
ë
ù
û
ú
非
共形
2
×
1 2
×
2
(2)不具有交换律,即
AB
¹
BA
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矩阵位移法
5、转置矩阵
将一个阶矩阵的行和列依次互换,所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵,如:
A=
a
a
a
a
a
a
11
12
21
22
31
32
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
其转置矩阵为
A
T
=
é
ë
ê
ù
û
ú
a
a
a
a
a
a
11
21
31
12
22
32
当连乘矩阵的乘积被转置时,等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若
A=B C D
则
A
T
=D
T
C
T
B
T
6、零矩阵
元素全部为零的矩阵称为零矩阵,用0表示。
若
AB=0
,
但不一定
A=0
或
B=0。
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矩阵位移法
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵,即
AI
=
A
IA
=
A
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矩阵位移法
9、逆矩阵在矩阵运算中,没有矩阵的直接除法,
除法运算由矩阵求逆来完成。例如,若
此处
A-1
称为矩阵
A
的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义:
矩阵求逆时必须满足两个条件:
(1)矩阵是一个方阵。
(2)矩阵的行列式不为零,即矩阵是非奇异矩阵(行列式为零的矩阵称为奇异矩阵)。
AB
=
C
则
B
=
A
-
1
C
A A
-
1
=
A
-
1
A
=
I
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10、正交矩阵
若一