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双曲线的几何性质
高二数学第8章第4节
关于x,y轴,
原点对称
(±a,0),(0,±b)
(±c,0)
A1A2 ; B1B2
e =
x =
|x|a,|y|≤b
椭圆的图形与几何性质
Y
X
F1
F2
A1
A2
B1
B2
双曲线图形(1)
双曲线的图形与几何性质(1)
双曲线标准方程:
Y
X
双曲线性质:
1、
范围:
x≥a或x≤-a
2、对称性:
关于x轴,y轴,原点对称
3、顶点:
A1(-a,0),A2(a,0)
4、轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2
A1
A2
B1
B2
5、渐近线方程:
6、离心率:
e=
双曲线的图形与几何性质(1)
双曲线标准方程:
Y
X
双曲线性质:
1、
范围:
x≥a 或
2、对称性:
关于x轴,y轴,原点对称。
3、顶点:
A1(-a,0),A2(a,0)
4、轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2
A1
A2
B1
B2
5、渐近线方程:
6、离心率:
e=
X
Y
F1
F2
O
B1
B2
A2
A1
双曲线图形(2)
双曲线的图形与几何性质(2)
双曲线标准方程:
Y
X
双曲线性质:
1、
范围:
y≥a或y≤-a
2、对称性:
关于x轴,y轴,原点对称
3、顶点:
B1(0,-a),B2(0,a)
4、轴:实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
A1
A2
B1
B2
5、渐近线方程:
6、离心率:
e=c/a
F2
F2
o
例题1:求双曲线
的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率,渐近线方程。
解:把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c=
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
渐近线方程:
即
练****题1:填表
|x|≥
6
18
|x|≥3
(±3,0)
y=±3x
4
4
|y|≥2
(0,±2)
10
14
|y|≥5
(0,±5)
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原
双曲线的共轭双曲线,求证:
(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;
(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
则它的共轭双曲线方程是:
渐近线为
渐近线为:
显然,它可化为
故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;
证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)
它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’),
∵
∴ c=c'
∴四个焦点, 在同一个圆
Y
X
A1
A2
B1
B2
F1
F2
o
F’2
F’1
问:有相同渐近线的双曲线方
程一定是共轭双曲线吗