非线性光学2.4.ppt

NLS方程()是一个非线性偏微分方程,要求它的解析解在一般情况下很困难。
有限差分法
伪频谱法
分步傅里叶方法
其中微分算符D和非线性算符N分别为:
表示线性介质的吸收和色散
表示非线性作用

一般情况下,色散、非线性在光纤中是同时作用的,在分步傅里叶方法中,假设在传输的一小段距离内,色散、非线性独立(分别)作用:
只考虑非线性作用时:
只考虑色散和损耗时
指数操作exp(hD)在傅里叶域内进行:
分步傅里叶方法的精度
:
比较可以发现,分步傅里叶变换忽略了算符和的对易性。
其中
这样就知道了分步傅里叶方法精确到步长的二阶项
采用一个不同的步骤使光脉冲从到一小段内传输,可以改善分步傅里叶方法的精确度,在此过程中,
该过程主要的不同在于非线性效应包含在小区间的中间而不是边界,该方法称为对称分布傅里叶方法。只要步长h足够小,中间的积分可以近似表示为exp(hz),。
,且它是步长h的三阶项
分布傅里叶方法的精度可以用比用exp(hz),一种简单的方法是采用梯形规则和近似积分:
因为位于中央处的是未知数,这就需要用来代替
进行迭代
分步傅里叶方法在执行中,如图光纤长度被分成大量的小区间,这些小区间可以不等距。光场在最初的传输过程中只与色散有关,;在 z+h/2 处,光场乘以一非线性项,以代表在整个区间内的非线性效应。之后光场在剩下的h/2区间传播,只与色散有关。在用到连续波在非线性介质中传输的情形时,要用衍射代替色散。
分步傅里叶方法比大多数的有限差分法见效快,但是要特别小心选择z和T的步长,以保证精度的要求。特别是它需要计算守恒值,如脉冲的能量(无吸收情况),来监视其精度。