非线性振动2.ppt

基本概念(V函数):定号,常号,变号函数
设函数是维空间原点邻域内的单值连续函数,而
定义1 如果存在,在区域: ( )内
当时, ,则称是正定的
,则称是负定的.
定义2,如果在域内,有,则称是常正的
,则称是常负的.
定义3,如果原点的任意小的邻域内, 既可取正值,又可以取负值,则称
为变号函数
复****Lyapunov 第二方法
定义全导数: (b)
定理1 (李雅普诺夫,1892)如果对于扰动运动微分方程(a)可以找到一个正定函数,它通过(a)构成的全导数是常负的,则系统(a)的无扰运动是稳定的.
定理2 (李雅普诺夫,1892) 如果对于扰动运动的微分方程(a),可以找到一个正定函数,它通过(a)构成的全导数是负定的,则(a)的无扰动速度是渐进稳定的.
对于扰动运动微分方程, (a)
复****Lyapunov 第二方法
定理3 (切达耶夫不稳定定理,1934)
如果对于扰动运动微分方程(a)可以找到单值连续函数,
满足
1,
2,在原点的任意小邻域内存在的区域.
3,通过(1)的全导数,在的某个区域上的一切点取正值,即,则无扰动运动是不稳的.
复****Lyapunov 第二方法
问题:
其一次近似方程: (d)
定理1 如果一次近似方程(d)的一切特征根的实部为负,则系统(c)无扰运动是渐近稳定的。
定理2 如果一次近似方程(d)的特征根中至少有一根的实部为正,则系统(c)的无扰运动是不稳定的。
按一次近似判断稳定性的法则:
驻定系统(c)
复****按一次近似判断稳定性的法则
问题:
对于非驻定系统??
非驻定系统稳定性基本原理
考虑非驻定系统的扰动运动的微分方程:
(1)
在闭区域, , 内连续,并在这一区域内满足解的唯一性条件.
注:
前面关于驻定系统的某些结论可以直接推广到非驻定系统,一些结论则不可以直接作简单的推广,甚至不能推广。这是因为非驻定系统在相空间的方向场是随时间而改变的,不具有驻定系统的不变方向的特征。
研究非驻定系统无扰运动(以原点为代表)的稳定性,这里仍要学****李雅普诺夫直接法,即构造李雅普诺夫函数。
与驻定系统不同,这一函数一般含有,即为(在特殊情况下也可以为).
需要建立的概念: 函数
定义1 单变量实值函数称为类函数
如果是连续单调递增,(即当时,有,且)
下列利用类函数定义定号函数
定义2 设函数在区域内单调连续,而且对于任何成立。如果存在类函数,在区域上满足, 则为正定的。

如果,则为负定的。
Remark 1:如果不显含,即,则定义2与前面驻定系统的函数定
义是等价的。
例证明: 为正定。
证:因为,若取,
则
定义3 对的全导数为(3)
定理1 ( 李雅普诺夫,1892),如果在区域内存在函数
和类函数,使得,
(1) (正定的)
(2) (常负的)
则非驻定系统(1)的无扰运动是稳定的。
例求单自由度系统,
无扰运动的稳定条件
解:化成标准形式


取正定函数[注: , ]
求得:
根据定理(1),如果对一切,有,则无扰运动是稳定的。
定义4 如果存在类函数,使得函数在区域内,
满足: ,则函数具有无穷小上界。
练****br/> 例2 有界,但没有无穷小上界。
例3 有无穷小上界。
例4 是正定的,而且有无穷小上界。
证:取,则对于一切有
这里, 。
注意: 设是具有无穷小上界的正定函数,
即
则的变化范围如图(手绘图)。
定理2 如果在区域内存在函数,以及类函数,使
得:
(1) , ;
(2)
则系统(1)的无扰运动是渐近稳定的。

Remark 1 驻定系统有一个重要的特性,它在相空间的方向场不变。非驻定系
统失去了这个特征。
Remark 2 如果是驻定系统,对稳定性判定,只要根据系统的系数矩阵的特征根的性质就可以判定了。但对于非驻定系统,这一方法一般会失效。