东北师范大学网络教育数学与应用数学专业本科论文.doc

东北师范大学网络教育本科论文
辅助函数在数学证明题中的应用
学生姓名:
指导教师:
学科专业: 数学与应用数学
学号: 201302514470
学****中心: 陕西商洛奥鹏
东北师范大学远程与继续教育学院
2014年10月
独创性声明
本人对本文有以下声明:
本人所呈交的论文是在指导教师指导下进行的研究工作及取得的研究成果,已按相关要求及时提交论文稿件,最终形成本文;
在撰写过程中主动与导师保持密切联系,及时接受导师的指导;
本文符合相关格式要求,除文中特别加以标注的地方外,论文中单篇引用他人已经发表或撰写过的研究成果不超过800字;
本人本文成稿过程中不存在他人代写、抄袭或和他人论文雷同的现象。
论文作者签名: 王斌
日期: 2014 年 10 月


摘要
辅助函数是进行科学研究和解决问题的必要思想方法之一,尤其在数学分析和高等代数证明题中经常要构造辅助函数,作为一种解题技巧辅助函数起着化难为易,化未知为已知的桥梁作用,本文给出了几种辅助函数的构造方法:原函数法,微分方程法,常数K值法,几何直观法,乘积因子;并且举出具体例子加以说明。
关键词:辅助函数, 微分中值定理,不等式


前言
证明题中的方法很多,通过构造辅助函数使命题得到简洁而明了的证明,是
一个很好的办法。如何根据问题的条件和所要证明的结论构造所需要的辅助函数,辅助函数的构造通常是根据所要证明的命题与需要应用的已知定理或已知命题之间,如果缺少某个条件,可构造一个具备所缺条件且和所证结论联系的辅助函数。正如拉格朗日中值定理中的证明,就是构造一个罗尔中值定理的辅助函数,然后再所给的区间上应用罗尔中值定理,得出拉格朗日中值定理的结论,同样柯西中值定理的证明也是通过构造辅助函数而得证的。
辅助函数的构造有很大技巧性和灵活性,一般来说应先分析命题的条件和结论,正确选择所需应用的定理,然后将欲证的等式和不等式变形,将其视为辅助函数应用定理后的结果,并作为构造辅助函数的主要依据。
一、辅助函数的基本特点及构造原则
所谓构造法, 就是按一定方式,经有限次步骤能够实现的方法,在解题时常表现的是不对问题本身求解,而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解。它具有两个显著的特征:直观性和可行性。正是这两个特性, 在数学解题中经常运用它, 但是如何构造辅助函数,始终是一个难点,因此应重视这种思想方法的引导和渗透,多做归纳总结。
辅助函数有许多基本特点。首先,辅助函数在题设中没有,在结论中也没有,仅是解题中间过程中构造出来的,类似于平面几何中的辅助线,起辅助解题的作用。其次,同一个命题可构造多个辅助函数用于解题。再次,构造辅助函数的思想较宽广。然而,不同的辅助函数直接关系到解题的难易,因此构造最恰当的辅助函数是关键。
如何构造辅助函数?事实上,我们在构造辅助函数时,必须遵循一定的原则。这是因为辅助函数的构造是有一定规律的,当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难奏效时,可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想,进而构造出解决问题的特殊模式。构造辅助函数的第一原则是:将未知化为已知。在一元积分学中许多定理的证明都是在析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数,将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成。其次,将复杂化为简单。一些命题较为复杂,直接构造辅助函数往往较困难,可通过恒等变形,由复杂转化为简单,从中探索辅助函数的构造,以达到解决问题的目的。再次,利用几何特征。在许多教科书中,微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析,探索辅助函数的构造,然后加以证。[1]
二、辅助函数的构造方法
(一)微分中值定理中辅助函数的构造方法
原函数法
原函数法的思想:
①将要证的结论中的换为x;
②通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式;
③用观察法或积分法求出原函数(等式中不含导数符号),并取积分常数为0;
④移项使等式一边为0,另一边即为所求辅助函数。
拉氏中值定理证明中辅助函数的构造:在拉氏中值定理的结论

中令:则有

两边积分得
,
取,得
,
移项得

故

为所求辅助函数。
在利用中值定理证明相关命题时,我们也可根据上面的思路来构造辅助函数,既先把命题结论转化为的形式,据此构造出适当的辅助函数使其符合罗尔定理条件,然后利用罗尔定理给出证明,这就是原函数法,但构造有时尚需一定的技巧。
例1:设在闭区间上连续,在开区间内可导,且试证:在开区间内至少存在一点使
分析:原结论即,因此可直接设显然在上满足罗尔定理,由罗尔定理,在内至少存在一点,使
[2]
微分方程法
证明的关键在于如何构造辅助函数,若采用原函数的方法,结论中的代数式非