第二章课后习题答案.doc

第二章课后习题答案
,a2,…,an均为正数,,且. 证明函数
在Cn上定义了一个向量范数.
证明:
(1) 正定性:对,有f(x)>0,当x=0时,f(x)=0.
(2) 奇次性:.
(3) 三角不等式:
.
所以函数f(x)是一个向量范数.
2. 证明:在R1中任何向量范数,一定有
.
证明:对任意向量范数,根据向量范数的定义和性质,又因为,有
,其中.
3. 设是Pn中的向量范数,,则也是Pn中的向量范数的充要条件为A是可逆矩阵.
证明:必要性:如果矩阵A不可逆,则存在,使得,即,这与向量范数的正定性矛盾,所以矩阵A可逆.
充分性:矩阵A可逆,对,则,所以,正定性满足;,奇次性满足;,三角不等式也满足,故是向量范数.
4. 证明
(1) ;
(2) 与是相容的;
(3) 与、均相容;
(4) .
证明:(1) 设,令. 根据定义有,,,所以有,同时有,,所以有.
(2) 见课本61页下.
(3) 令,. 因为
. 所以,与相容;
因为
. 所以,与相容.
(4) 令,因为,,同时有
有上述结果有
,所以(4)成立.
5. 若,且,则
,.
证明:根据定义;.
6. 设x,Ax的向量范数为,证明:它对应的算子范数是
.
证明:对任意矩阵A,存在酉矩阵U,V,得到矩阵A的奇异值分解A=UDV. 其中是矩阵A的奇异值,D=diag(). 根据定义,有=max{}.
7. 若是算子范数,则
(1) ;
(2) ;
(3) .
证明:根据算子范数定义,
(1) ;
(2) ,;
(3) ,令,则,得,从而.
8. 设,是对应于两个向量范数,的算子范数,B可逆,则
.
证明:根据定义,有,把代入上式,得到
,令y=Bx,则,则.
9. 设,是Cn上的两个向量范数,a1,a2是两个正实数,证明
(1) ;
(2)
上的向量范数.
证明:需要证明(1)和