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高考数学填空题解题方法
一、直接法
例1
解:,由复合函数的增减性可知,
在上为增函数,
∴,∴。
例2
:由题设,此人猜中某一场的概率为,且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件,故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。
二、特殊化法
例1
解:特殊化:令,
则△ABC为直角三角形,,
从而所求值为。
例2
分析:题目中“求值”二字提供了这样信息:答案为一定值,
不妨令。
三、数形结合法
例1
解:根据不等式解集的几何意义,作函数和
函数的图象(如图)
例2
解:可看作是过点P(x,y)与M(1,0)的直线的斜率,其中点P的圆上,当直线处于切线位置时,斜率最大,最大值为。
四、等价转化法
例1
解:设,则原不等式可转化为:
∴a > 0,且2与是方程的两根,
由此可得:。
例2
解:题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,
等价于点(0,1)在圆上或圆内
∴。
例3
解:易知
∵y与y2有相同的单调区间,
而,
∴可得结果为。
例4
由,得,应填4.
请思考为什么不必求呢?
例5,
讲解容易发现,这就是我们找出的有用的规律,于是
原式=,应填
五、综合训练
例1,


将①、②式相加,类似于等差数列的情形,、:

而
.
.
例2.
讲解长方体的对角线就是外接球的直径, 即有

从而,故应填
例3.
讲解本题是一道很好的开放题,解题的开窍点是:每个面的三条棱是怎样构造的,依据“三角形中两边之和大于第三边”,就可否定{1,1,2},从而得出{1,1,1},{1,2,2},{2,2,2}三种形态,再由这三类面构造满足题设条件的四面体,最后计算出这三个四面体的体积分别为: , ,,故应填.、、中的一个即可.
二、选择题解题技巧解析
.
1、直接法:
【例1】
【解】直接法:由sinx>cosx得
cosx-sinx<0,
即cos2x<0,所以:
+kπ<2x<+kπ,选D.
【另解】数形结合法:由已知得|sinx|>|cosx|,画出y=|sinx|和y=|cosx|的图象,从图象中可知选D.
【例2】
通用规律:
图像关于x=a对称
=》f(a+x)=f(a-x)
=》f(x)=f(2a-x)
=》f(-x)=f(2a+x)
=》f(x+a)是偶函数
若f(x)是奇函数,图像周期为4a,
若f(x)是偶函数,图像周期为2a.
附加:
若f(a+x)=f(a-x), f(b+x)=f(b-x)
则f(x)图像周期为2(a-b)。
若
则f(x)图像周期为2a,
方法二:由f(x+2)=-f(x),得到周期T=4,
所以f()=f(-)=-f()=-.
【例3】
【解一】用排除法:七人并排站成一行,总的排法有种,其中甲、乙两人相邻的排法有2×,甲、乙两人必需不相邻的排法
种数有:-2×=3600,对照后应选B;
【解二】用插空法:×=3600.
例4、
解: 由题意函数y=f(x)图像过点(3,-1),它的反函数y=g(x)的图像经过点(-1,3),由此可得函数y=g(x-1)的图像经过点(0,3),故选B.
例5、
解析:由图象可得
f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x,
又∵x1、x2是f ′(x)=3x2-2x-2=0的两根,
∴x1+x2=,x1x2= -,
故x=(x1+x2)2-2x1x2=()2+2×=,
故选C.
2、特例法:
①特殊值:
例1、
解:本题结论中不含n,正确性与n无关,可对n取特殊值,如n=1,此时a1=48,a2=S2-S1=12,a3=a1+2d=-24,所以前3n项和为36,选D.
②特殊函数:
例2、
解:构造特殊函数,显然满足题设条件,并易知f(x)在区间[-7,-3]上是增函数,且最大值为f(-3)=-5,故选B.
③特殊数列:
例3
解:取an=3n,,易知选D.
④特殊点:
例4、
解: 在f(x)= +2(x≥0)中可令x=0,得y=2;令x=4,得y=4,则特殊点(2,0)及(4,4)都在反函数f-1(x)图像上,观察得A、C,又由反函数f-1(x)的定义域知选C.
⑤特殊模型:
例5、
【解】考虑由P0射到BC的中点上,这样依次反射最终回到P0,此时容易求出tan=,由题设条件知,1<x4<2,则tan≠,排除A、B、D,故选C.
例6、
例7、
【解】用特值法:当n=2时,代入得C+C=2,排除答案A、C;当n=4时,代入得C+C+C=8,.
例8