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第五节极限运算法则.ppt

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文档列表 文档介绍

第五节极限运算法则
二、极限四则运算法则
四、小结思考题
一、无穷小的性质
三、复合函数的极限
1
一、无穷小的运算性质
【教材上证明的是x→x0时的情形】
【定理1】有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【证】
考虑两个无穷小之和,且仅证的情形
1)和的性质
2
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
n个
【例如】
非无穷小
3
【证】
【定理2】有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
【分析】
(仅证时)
(注:M为定值)
2)乘积的性质
设
又设
即
当
时, 有
取
则当
时, 就有
【证完】
故
即
是
时的无穷小.
4
【推论1】有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
【推论2】常数与无穷小的乘积是无穷小.
【推论3】有限个无穷小的乘积也是无穷小.
都是无穷小
【例1】
【解】
由定理 2 可知:
【说明】 y = 0 是
的渐近线.
5
二、极限的运算法则
【定理3】
【证】
由无穷小运算法则,得
以下符号lim表示自变量的同一变化过程
推广到有限项
【声明】

6
由第三节定理3*得
7
【推论1】
常数因子可以提到极限记号外面.
【推论2】
有界,
函数和,差,积,商的极限等于极限的和,差,积,商.
8
【定理4】
设数列
【注意】
定理3及其两个推论成立的前提条件是:
“f (x)与g (x)的极限存在”
若
则

【提示】因数列是一种特殊的函数,
故此定理4 可由
定理3(x→∞情形)与海因定理直接得出结论.
9
【定理5】
【证】
令
则
由定理3可知
由第三节函数极限的局部保号性的推论可知
【证完】

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