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考研数学春季强化班高数讲义
第一章函数极限连续

1. 函数的概念(定义、定义域、对应法则、值域)
2. 函数的性态
1)单调性
定义:单调增:
单调不减:
判定:(1)定义:
(2)导数:设在区间上可导,则
a) 单调不减;
b) 单调增;
2)奇偶性
定义:偶函数奇函数
判定:(1)定义:
(2)设可导,则:
a)是奇函数是偶函数;
b)是偶函数是奇函数;
(3)连续的奇函数其原函数都是偶函数;
连续的偶函数其原函数之一是奇函数。
3)周期性
定义:
判定:(1)定义;
(2)可导的周期函数其导函数为周期函数;
(3)周期函数的原函数不一定是周期函数;
4)有界性
定义:若则称在上有界。
判定:(1)定义:
(2)在上连续在上有界;
(3)在上连续,且存在在上有界;
(4)在区间(有限)上有界在上有界;
(函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合)

基本初等函数:
常数,幂函数,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形.
初等函数:
由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个
解析式表示的函数.
题型一复合函数
例1设的定义域为,则的定义域为
(A) (B)
(C) (D)
例2已知且求及其定义域。

例3设,
试求.
( )
题型二函数性态
例1 函数在下列哪个区间内有界。
(A) (B) (0,1)
(C) (D) (2,3)
例2 以下四个命题中正确的是
(A)若在内连续,则在内有界;
(B)若在内连续,则在内有界;
(C)若在内有界,则在内有界;
(D)若在内有界,则在内有界。
例3 设是恒大于零的可导函数,且
时,有
(A) (B)
(C) (D)
例4 设函数则存在,使得
(A)内单调增加; (B)内单调减少;
(C)对任意的;
(D)对任意的。
注:1) 在的某邻域内单调增;
2) 当时,;
当时,。


1)数列极限: :,当时.
2)函数极限:
(1)自变量趋于无穷大时函数的极限
: ,当时.
和的定义与类似。

(2)自变量趋于有限值时函数的极限
: ,当时。
右极限:.
左极限:.
几个值得注意的极限:,
2。极限性质
1)有界性: 收敛数列必有界;
2)有理运算性质: 若.
那么: ;
;
两个常用的结论:1)存在,
2)
3)保号性: 设
(1) 如果,则存在,当时,.
(2) 如果当时,,那么.
4)函数值与极限值之间的关系:
. 其中
3。极限存在准则
1)夹逼准则: 若存在,当时,,且则
2)单调有界准则:单调有界数列必有极限。
4。无穷小量
1)无穷小量的概念: 若,称为无穷小量(或).
2) 无穷小的比较: 设.
(1)高阶: 若; 记为
(2)同阶: 若;
(3)等价: 若;记为
(4)无穷小的阶: 若,称是的阶无穷小.
5。无穷大量
1) 无穷大量的概念: 若,称为时的无穷大量。
2)无穷大量与无界变量的关系: 无穷大量无界变量
3)无穷大量与无穷小量的关系:
无穷大量的倒数是无穷小量;非零的无穷小量的倒数是无穷大量。
题型一求极限
方法1. 利用有理运算法则求极限
例1
例2
解1:原式
,求
解:
方法2. 利用基本极限求极限
常用的基本极限
, ,
, ,

例.;

,
,
2。等价无穷小代换一般只能用在乘、除关系,而不能用在加、减关系。
.
解:原式==
例2. 。
(繁)

注:利用拉格朗日中值定理。
例3. 若, 求
例4. ;
方法4. 洛必达法则:
若 1)
2)和在的某去心邻域内可导,且
3)存在(或);
则
例1.
例2.
例3.
例4.
例5.
方法5 泰勒公式
泰勒公式:(皮亚诺余项) 设在处阶可导,那么
其中。
,则等于
(A) 0; (B)6; (C)36; (D)
解1
解2
则
例2 ;
解: ;

,求及
解:
,
方法6 利用夹逼准则求极限

例2 求极限其中。
例3 设求
方法7 利用单调有界准则求极限(先证明极限存在