[研究生入学考试]线性代数 第12讲.ppt

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Linear Algebra
线性代数第十二讲
用初等行变换把矩阵变成为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
1、矩阵秩的求法
一、复****br/>1) 定义法
2) 利用矩阵初等变换法
(1) 0  R(Amn)  min{m n}
(2) R( AT )  R(A)
(3) 若 A~B则 R(A)  R(B)
(4) 若 P、Q 可逆则 R(PAQ)  R(A)
(5) max{R(A) R(B)}  R(A B)  R(A)R(B)
(6) R(AB)  R(A)R(B)
(7) R(AB)  min{R(A) R(B)}
(8) 若 Amn Bnl  O则 R(A)R(B)  n
2、矩阵秩的性质
定理对 n 元线性方程组 Axb
(1)无解 R(A)  R(A b)
(2)有唯一解 R(A)  R(A b)  n
(3)有无限多解 R(A)  R(A b)  n
它的解有如下定理
3、用矩阵的秩解线性方程组
证:
参考《高等代数》的证明
其中 xr1 xn 是自由未知数
令 xr1  c1 xn  cnr 可得:
这是方程组的含有参数的解称为方程组的通解
求解线性方程组 Ax  b 的步骤
先用初等行变换把增广矩阵 B 化行阶梯形
(1) 若 R(A)  R(B)则方程组无解
(2) 若 R(A)  R(B)则进一步把 B 化成行最简形
①若 R(A)  R(B)  r  n方程组有唯一解
②若 R(A)  R(B)  r < n方程组有无穷多个解。
把行最简形中 r 个非零行的首非零元所对应
的未知数取作非自由未知数其余 n  r 个未
知数取作自由未知数并令自由未知数分别等
于 c1 c2 cnr 由 B 的行最简形即可写出含
n  r 个参数的通解