第八章 常微分方程数值解法.ppt

第8章常微分方程数值解法
§ 为什么要研究数值解法
一阶常微分方程初值问题的一般形式为
y=(x,y) ,axb
§1 引言
()
y(a)=
其中(x,y)是已知函数,为给定的初值.
如果函数(x,y)在区域axb,-<y<上连续且关于y满足Lipschitz条件
其中L>0为Lipschitz常数,则初值问题()有唯一解.
虽然大部分方程在理论上解是唯一存在的,但一般来说,其精确解很难求出或不能用初等函数表示出。例如
此时(x,y)=1+xsin(xy) 关于x,y 连续且不难验证它关
于y满足常数L=4的Lipschitz条件,所以方程解唯一存在,
但我们无法求出解的解析表达式。因此通常采用近似方法
来求解常微分方程。
近似主要有两类:解析近似和数值近似。这里主要
研究数值近似方法(数值解法),它便于在计算机上实
现。数值解法是要求出常微分方程解在一些离散点上的近似值。
a=x0<x1<x2<…<xn<…<xN=b
其中剖分节点xn=a+nh,n=0,1,…,N, (x)在剖分节点xn上的近似值yny(xn), n=1,2,…,N.
假设初值问题()的解y=y(x)[a,b]做等距剖分
构造数值解法的基本思想是:利用某种离散化方法将连续性方程()在剖分节点{xn}上离散化,建立关于节点近似值{yn}的差分方程,再由差分方程求出节点xn上的近似值yny(xn),n=1,2,…,N. 。
§ 构造数值解法的基本思想
梯形公式
o
x
y
a
b
左矩形公式
y=(x)
右矩形公式
中矩形公式
对右边的积分应用左矩形公式,则有
在区间[xn,xn+1]上对方程()做积分,则有
舍去高阶小项,则可建立节点处近似值yn满足的差分方程:
称之为Euler公式.
若对()式右边的积分应用梯形求积公式,则有
舍去高阶小项,则可建立梯形差分公式:
利用Euler方法求初值问题
解 Euler差分公式为
称为Euler中点公式.
若在区间[xn-1,xn+1]上对方程()做积分,则有
对右边的积分应用中矩形求积公式,则得差分公式
例1
(x)=x/(1+x2).
分别取步长h= , ,,计算结果如下:
在此问题中
代入上述格式,得到差分公式
h
xn
yn
y(xn)
y(xn)-yn
h=



















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h=



















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h=



















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Euler中点公式则不然, 计算yn+1时需用到前两步的值yn , yn-1 ,称其为两步方法,两步以上的方法统称为多步法.
在Euler公式和梯形公式中,为求得yn+1,只需用到前一步的值yn,这种差分方法称为单步法,这是一种自开始方法.
隐式公式中,每次计算yn+1都需解方程,要比显式公式需要更多的计算量,但其计算稳定性较好.
在Euler公式和Euler中点公式中,需要计算的yn+1已被显式表示出来,称这类差分公式为显式公式,而梯形公式中,需要计算的yn+1隐含在等式两边,称其为隐式公式.
从数值积分的角度来看,梯形公式
计算数值解的精度要比Euler公式好,但它