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高级微观经济学(武康平)07 预期效用理论
第7次作业(三) VNM效用函数预期效用函数存在定理虽然保证了风险偏好存在一般意义上的预期效用函数,但还不能保证通常意义上的预期效用函数也存在。通常的预期效用函数是通过确定性选择集合 X 上的确定性效用函数的积分来表达的,因此还需要研究积分形式的预期效用函数的存在性:如果 p 是 D 上的偏好关系,那么是否存在函数 U : X ? R 使得 EU : D ? R 成为 p 的效用函数? 最早涉及这个问题研究的是数学家冯?诺伊曼和摩根斯顿。后人便把能使 EU 表达风险偏好的这个函数U : X?R 叫做von Neumann-Morgenstern效用函数,简称VNM效用函数。准确地说,我们给出如下定义。定义(VNM效用函数) 函数U : X?R 叫做风险偏好 p 的VNM效用函数,是指从 U 出发给出的函数 EU : D ? R 是 p 的效用函数,其中EU 的定义为:对任何 f ?D, 。 1. 可测偏好与单调性公理为了 VNM 效用函数的存在性,需要假定风险环境中的状态空间?是确定性选择集合 X:? = X。这个假设是说,消费者能够对每次风险行动中“选择到 X 的某子集 B 中的向量”的概率大小做出估计,也即可把风险环境中的随机事件直接看成是“选择结果落在X 的某个子集中”。于是,风险环境(?,F,P)为概率空间(X,F,P): (?,F,P) = (X,F,P) 定义(可测偏好) 风险偏好关系 p 叫做是可测的,是指对任何x? X,集合{y?X : y p x}和{y?X : y ? x}都是 F 的元素,即都是概率空间(X,F,P) 中的可测集合。单调性公理对任何X 及x?X,如果P{?(?) p x}=1,即?(?) p x 对几乎所有的都成立,则? p x;如果P{?(?) ? x}=1,即?(?) ? x 对几乎所有的都成立,则? ? x。 2. VNM效用函数存在定理定理(积分形式) 设(?, F, P) = (X, F, P) 且(?x?X )({x}?F )。如果 p 是 D 上的可测偏好关系并且服从阿基米德公理、独立性公理和单调性公理,则存在一个有界可测函数U : X ? R 满足如下条件: (? f, g?D) (( f p g) ? ( ?X U(x) df (x) ? ?X U(x) dg(x) )) 即存在 p 的VNM效用函数。风险行为准则:预期效用函数存在定理及VNM效用存在定理告诉我们,在风险环境中,人们实际上是根据预期效用来对各种可能的风险活动进行评价,然后作出选择的。这样,人们的风险行为准则必然是预期效用最大化。值得注意:VNM效用函数存在定理并没有说只要一个定义在X上的实值函数U(x)是风险偏好? 在 X 上的限制的效用函数,即只要 U(x) 是消费者的确定性效用函数,那么从 U(x) 得出的预期效用函数 EU( f ) = ?X U(x) df (x) 就是? 的(预期)效用函数! 三、无常选择与主观概率现在讨论第二种不确定性:无常性(uncertainty),即不但经济人的选择结果不确定,而且连选择到某种结果的概率都不存在,因而是完全地不确定。在这种完全不确定的环境中,由于不存在事件发生的概率,经济人在决策时就要靠经验、靠感觉、靠信息来对事件发生的可能性作出主