数学竞赛技巧.doc

数学竞赛的技巧
有固定求解模式的问题不属于数学竞赛,通常的情况是,在一般思维规律的指导下,灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中,经常使用一些方法和原理(如探索法,构造法,反证法,数学归纳法,以及抽屉原理,极端原理,容斥原理……),同时,也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的技巧。“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技,它既是使用数学技巧的技巧,又是创造数学技巧的技巧,更确切点说,这是一种数学创造力,一种高思维层次,高智力水平的艺术,一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。”技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。
构造
它的基本形式是:以已知条件为原料、以所求结论为方向,构造出一种新的数学形式,使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形,构造方程,构造恒等式,构造函数,构造反例,构造抽屉,构造算法等。
例一位棋手参加11周(77天)的集训,每天至少下一盘棋,每周至多下12盘棋,证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。
证明:用表示这位棋手在第1天至第天(包括第天在内)所下的总盘数(),依题意考虑154个数:
又由,即154个数中,每一个取值是从1到153的自然数,因而必有两个数取值相等,由于时,
故只能是满足,这表明,从天到天共下了21盘棋。
这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序,并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”,其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。
例已知为正数且求表达式的最小值。
解:构造一个△ABC,其中三边长分别为,则其面积为
,另方面
故知,当且仅当∠C=90°时,取值得最小值2,亦即
时,取最小值2,如时,。
映射
它的基本形式是RMI原理。令R表示一组原像的关系结构(或原像系统),其中包含着待确定的原像,令表示一种映射,通过它的作用把原像结构R被映成映象关系结构R*,其中自然包含着未知原像的映象。如果有办法把确定下来,则通过反演即逆映射也就相应地把确定下来。取对数计算、换元、引进坐标系、设计数学模型,构造发生函数等都体现了这种原理。
建立对应来解题,也属于这一技巧。
例甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,…直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程,那么所有可能出现的比赛过程的种数为。
解设甲、乙两队的队员按出场顺序分别为A1,A2,…,A7和B1,B2,…B7。
如果甲方获胜,设获胜的场数是,则而且(*)容易证明以下两点:在甲方获生时,(i)不同的比赛过程对应着方程(*)的不同非负整数解;
(ii)方程(*)的不同非负整数解对应着不同的比赛过程,例如,解(2,0,0,1,3,1,0)对应的比赛过程为:A1胜B1和B2,B3胜A1,A2和A3,A4胜B3后负于B4,A5胜B4,B5和B6但负于B7,最后A6胜B7结束比赛。故甲方获胜的不同的比赛过程总数是方程(*)的非负整数解的个数。
解二建立下面的对应;集合的任一个7-可重组合对应着一个比赛过程,且这种对应也是一个一一对应。例如前述的比赛过程对应的7-可重组合是所以甲方获胜的不同的比赛过程的总数就是集合的7-可重组合的个数。
例设表示个元素中有个不动点的所有排列的种数。求证
证明设。