同济大学第五版高等数学课件D86几何中的应用.doc

同济大学第五版高等数学课件D86几何中的应用
一空间曲线的切线与法平面 1 曲线方程为参数方程的情况例1 或法平面方程切平面方程特别当光滑曲面的方程为显式法向量的方向余弦内容小结 2 一般式情况 2 曲面的切平面与法线 2 显式情况 2 设 f u 可微 1 证明曲面 2 求曲线第六节复****目录上页下页返回结束一空间曲线的切线与法平面二曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用第八章复****平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因机动目录上页下页返回结束过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法机动目录上页下页返回结束位置空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限平面点击图中任意点动画开始或暂停切线方程机动目录上页下页返回结束此处要求也是法平面的法向量切线的方向向量称为曲线的切向量如个别为0 则理解为分子为 0 机动目录上页下页返回结束不全为0 因此得法平面方程说明若引进向量函数则为 r t 的矢端曲线处的导向量就是该点的切向量求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程切线方程法平面方程即即解由于对应的切向量为在机动目录上页下页返回结束故 2 曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点且有时可表示为处的切向量为机动目录上页下页返回结束则在点切线方程法平面方程有机动目录上页下页返回结束也可表为机动目录上页下页返回结束例2 求曲线在点 M 1
–2 1 处的切线方程与法平面方程切线方程解法1 令则即切向量机动目录上页下页返回结束法平面方程即机动目录上页下页返回结束解法2 方程组两边对 x 求导得曲线在点 M 1–2 1 处有切向量解得切线方程即法平面方程即点 M 1–2 1 处的切向量机动目录上页下页返回结束二曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点对应点 M 切线方程为不全为0 则在且点 M 的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明此平面称为在该点的切平面机动目录上页下页返回结束上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上证机动目录上页下页返回结束在上得令由于曲线的任意性表明这些切线都在以为法向量的平面上从而切平面存在曲面在点 M 的法向量法线方程复****目录上页下页返回结束曲面时则在点故当函数法线方程令在点有连续偏导数时切平面方程机动目录上页下页返回结束法向量用将表示法向量的方向角并假定法向量方向分别记为则向上复****目录上页下页返回结束例3 求球面在点 1 2 3 处的切平面及法线方程解所以球面在点 1