北大高代(第3版)8.1.ppt

主要内容
第一节- 矩阵
定义
举例
一、定义
设 P 是一个数域,是一个文字,作多项式环
P[] .
一个矩阵,如果它的元素是的多项式,即
P[] 的元素, 就称为- 矩阵.
在这一章,我们来
讨论- 矩阵的一些性质,并用这些性质来证明上
一章第八节中关于若尔当标准形的主要定理.
因为数域 P 中的数也是 P[] 的元素,所以在
- 矩阵中也包括以数为元素的矩阵.
为了与- 矩
阵相区别,有时我们把以数域 P 中的数为元素的
矩阵称为数字矩阵.
以下用 A(), B(),…等
表示- 矩阵.
我们知道, P[] 中的元素可以作加、减、乘
三种运算, 并且它们与数的运算有相同的运算规律.
而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法
与乘法,因此,我们可以同样定义- 矩阵的加法
与乘法, 它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.
这些就不重复叙述与证明了.
行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法,
因此, 同样可以定义一个 n  n 的- 矩阵的行列式.
一般地,- 矩阵的行列式是的一个多项式, 它与
数字矩阵的行列式有相同的性质.
例如, 对于- 矩
阵的行列式,矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积
这一结论,显然是对的.
既然有行列式,也就有- 矩阵的子式的概念.
利用这个概念,我们有
定义 1 如果- 矩阵 A() 中有一个 r ( r  1 )
级子式不为零,而所有 r + 1 级子式(如果有的话)
全为零,则称 A() 的秩为 r .
零矩阵的秩规定为
零.
对于数字矩阵,这与以前的定义是一致的.
与以前一样,我们还有:
定义 2 一个 n  n 的- 矩阵 A() 称为可逆
的,如果有一个 n  n 的- 矩阵使
A() B() = B() A() = E , (1)
这里 E 是 n 级单位矩阵.
适合(1) 的矩阵 B() (它
是唯一的) 称为 A() 的逆矩阵,记为 A-1() .