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一. 函数的概念
、下限积分表示的函数
考研数学知识点-高等数学
公式 1.

x
limsin= 1
x→0 x
(1)
y = ∫0xf( )dt ,其中 f ( )连续,则dy= f ( )
⎛+ 1 ⎞
n
u
⎛+ 1 ⎞
ϕ
( )
dx
⎜
公式 2 . lim 1
n→∞⎝
⎟ =
n ⎠
⎜
e ; lim 1
u→∞⎝
⎟ =
u ⎠
e ;
y = ∫ϕ12( )( )
(2)
f dt ,其中ϕ1( ) ,ϕ2( ) 可导,f ( )
1
( + v)v= e
lim 1
连续,
v→0
则
dy
dx
= f
[ϕ2( )]ϕ2( )
′ −
f [ϕ1( )]ϕ1′( )

(比用等价无穷小更深刻)(数学一和

设 lim f ( ) = 0 , lim g( ) = 0 ,且 lim

f ( )
数学二)

x

2

xn( )
g( )=l
当
x → 0 时,
e
x = 1 + x + + Λ + +
2! n!
0
(1) l = 0 ,称 f ( ) 是比 g( ) 高阶的无穷小,记以

3

5

( ) ( ) x2n+1+0( )n+1
( )
f =
0[g( )]
,称 g( ) 是比 f ( ) 低阶的无穷
sin x = x −x+x+ Λ +
3! 5!
2 4
2n +1 !
( ) ( )x2n+0( )n
小。
(2) l ≠ 0 ,称 f ( ) 与 g( ) 是同阶无穷小。
cos x 1
x x
= − + −Λ +
2! 4!
2 3
2n !
nn( )
( )
x x
Λ
( )+
x
(3) l = 1 ,称 f ( ) 与 g( ) 是等价无穷小,记以
f ( ) ~ g( )
ln 1
+ x = x − + − +
2 3
3 5
1
1
n
+
n+
0
x x
Λ
( )n+1
x21
( )+1

arctan x = x − + − +
3 5
1
n +
2 1
+ 0
当 x → 0 时
( ) x α
α α( ) 1
=1+ x+
Λ
α( ) 1 Λ[α−( )1 ]
xn( )
sin x ~ x ,tan x ~ x ,arcsin x ~ x ,arctan x ~ x
2!
x2++
!
n
+0
12
1 − cos x ~ x ,
2
(1 + x) α − 1 ~ αx
ex−1 ~ x , ln(1 + x) ~ x ,


0

lim f ( ) = 0 ,lim g( ) = 0
法则 1.(
0
型)设(1)