经典力学教程精习题中心力场中的运动.doc

第七章中心力场中的运动
证明:如果一个质点在指向圆周上一点的有心吸引力作用下描绘圆形轨道,则这个力将按距离的五次方反比规律变化。
[解] 根据比内公式
图

其中

代入比内公式得




质量为m的质点受到一静止中心的吸引力,其中r为质点到力心的距离。起始时,且与径向成角,求质点的运动规律。
[解] 选原点在力心O的平面极坐标系。




(因)

由

所以轨道方程为
(对数螺线)
质量为m的质点在中心力作用下沿半径为a的圆轨道运动,求其速率。
[解]

由比内公式得



又由于,代入得
试导出下面中心力量值的公式

式中m是质点的质量,r为质点到力心的距离,,p是力心到轨道切线的垂直距离。
[解]

由降阶的比内公式得

图

两边对r求微商

将代入上式,且由比内公式得
所以,中心力量值为
,其中为常数,证明m的轨道是一个转动的圆锥曲线
[解] 首先求势能。


令,位能为零,则
由降阶的比内公式得
式中
开方得

积分得
故
式中

令极轴转一角度则
下面我们进行轨道分析。设E<0,0<e<1,则
轨道有界。
设向径转过2角,即从0→2,则k从0→2k<2于是r不能回到原来(k=0时)的值,即。当k=0时,r在近日点,而时,r不能回到近日点,所以径向运动周期不等于角运动周期()。一般说,径向运动一周期时,角位移
△
图
轨道一般不闭合,而是逐渐充满的整个空间,仅当△(m,n是正整数)时,轨道才能经有限次震荡后自行闭合,运动又完全自行重复。轨道是一转动着的类似椭圆的曲线。
一卫星沿关于地球的半径为2(为地球半径)的圆形轨道运动。在某一时刻,卫星的运动方向朝向地球改变了角,而速率不变。求使卫星刚要接触地球之角。
[解] 由,当卫星沿半径为2的圆形轨道运动时,速率为
能量为



在某时刻,运动方向改变了角,于是角动量改变了,但速率未变,因而能量也未变。新的角动量
卫星刚好接触地球的条件是近地点距离,由能量方程有


在远近点(供点),,所以
两边乘以得

此式称远近点方程。将l及E之值代入此式,得
近地点由下式给出
当时,故。
地球上方几百公里高处来自稀薄的上层大气的阻力,对于沿圆形轨道运行的卫星产生的效应竟是使卫星速率增大,如何解释这个“卫星怪象”?
如果上层大气的阻力是,v是卫星的速率,卫星到地心的径向距离r终归要以的比率减小,C是正常数,它足够地小,使卫星每转一周的能量损失同总能量相比为一小量,求A和的表达式。
[解] 在圆形轨道运动中,半长轴a即圆的半径r。
(1)
由于大气阻力把机械能转变成热能,因而卫星的总能量E减少,轨道半径将因之减小。但由于上层大气十分稀薄,必须经过转许多圈,卫星高度才会有明显改变,在此之前轨道仍保持近似圆形。由(1)式知,E减小T必然增大,这导致卫星速率增大。
由于

(2)
又因所以
(3)
比较(2)与(3),只能为3。因此有
一卫星匀速地运动在以地心O为中心,半径为4a的圆形轨道上,这里a是地球半径。点燃反推进火箭以减小卫星的速率,不改变其方向,因而其后它运动在一椭圆轨道上,它到O的最近距离是2a。证明卫星速率必须按照的比例减小。
[解]
对圆形轨道

因圆轨道半径4a,故。
设卫星的速率由变到,在以后的运动中,能量常数为
有远近点方程

得

由题知,远地点距离是r=4a,它必是方程的一个根,分解因式得
所以近地点距离必为,而由题意知
:循着椭圆轨道运动的行星,如其在远日点速度突然增加的话,则在近日点时行星到太阳的距离增加了。
[解] 行星在远日点速度突然增加一小量,轨道仍是椭圆,力心未变,仍是新椭圆的焦点。能量增加,a随之增大。

由于,所以
(1)
速度改变的瞬时r不变,故由公式
(2)
有

所以

将r,a之值代入(2)得
所以

设有一彗星的轨道是以太阳为焦点的抛物线,这个彗星在近日点处和另一质量相同的静止彗星相碰,碰后两个彗星合成一个。证明这个大彗星的轨迹是一个偏心率为
的椭圆。
[解] 碰前运动彗星的轨迹是抛物线,其总能量为零,静止彗星只有势能,两者总能量之和为负值。碰撞为非弹性的,损失了能量,因而大彗星总能量E<0,轨迹必为椭圆。
设碰前运动彗星速度为,抛物线的近日点距太阳为,则
碰后瞬