二重积分计算(1).ppt

一、二重积分的定义
定义:
将区域 D 任意分成 n 个小闭区域
也表示其面积.
如果上述极限存在,则称此极限为f(x,y)在闭区域D上的
是定义在有界闭区域 D上的有界函数,
在每个小闭区域上任取一点
作积
作和
二重积分.
记作
积分区域
被积函数
被积表达式
面积元素
积分和
在D上可积.
二重积分的几何意义
当时,二重积分表示以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.
当时,二重积分表示以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积的相反数.
二重积分的物理意义
当时,二重积分表示占有区域D,以为密度的平面薄板的质量.
当时,二重积分表示占有区域D,以为密度的平面薄板质量的相反数.
二、二重积分的性质
(为D 的面积).
性质1
性质2
性质3
性质4
则
若在D上
线性性质
积分区域的可加性
保序性
设
分别是f(x,y)在闭区域D 上的最大值和
最小值,
性质5
D的面积为,则有
估值定理
性质6
(二重积分的中值定理)
在闭区域D上
(为D 的面积)
则在D上至少存在一点
使
连续,
上边界
下边界
右边界
左边界
X型区域
Y型区域
如: 曲线所围区域.
所围区域
4
y
-1
x
1
O
2
(4, 2)
(1, -1)
4
y
-1
1
x
1
O
2
(4, 2)
(1, -1)
第二节
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
二重积分的计算法
平行截面面积为已知的立体的体积
设一个立体在过点x=a,x=b且垂直于x轴的两个平行平面之间,A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积, A(x)连续,则这个立体的体积:
立体体积
曲顶柱体体积的计算
设曲顶柱体的底为
任取
平面
故曲顶柱体体积为
截面积为
截柱体的
记作
先对y后对x的二次积分
类似地, 如果曲顶柱体的底为
则其体积可按如下二次积分计算
记作
先对x后对y的二次积分
区域既是X型又是Y型
D是X型区域
先对y后对x的二次积分
D是Y型区域
先对x后对y的二次积分
若积分域较复杂,可将它分成若干
X 型区域或Y 型区域,
则
若积分区域既是 X 型区域又是Y 型区域
例1. 计算
其中D 是直线 y=1, x=2, 及
y=x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X 型区域, 则
解法2. 将D看作Y 型区域, 则