等差数列·例题解析.doc

等差数列·例题解析.doc等差数列·例题解析
 
【例1】在100以内有多少个能被7个整除的自然数?
解∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列,其中a1=7,d=7,an=98.
代入an=a1+(n-1)d中,有
98=7+(n-1)·7
解得n=14
答 100以内有14个能被7整除的自然数.
【例2】在-1与7之间顺次插入三个数a,b,b使这五个数成等差数列,求此数列.
解设这五个数组成的等差数列为{an}
由已知:a1=-1,a5=7
∴7=-1+(5-1)d 解出d=2
所求数列为:-1,1,3,5,7.
插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项.
【例4】在[1000,]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个?
解设an=3n,bm=4m-3,n,m∈N
得n=4k-1(k∈N),得{an},{bm}}=12n-3(n∈N).
则在[1000,]}的项为84·12-3,85·12-3,…,166·12-3
∴n=166-84+1=83 ∴共有83个数.
【例5】三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数.
解设三个数分别为x-d,x,x+d.
解得x=5,d=±2
∴所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明注意学****本题对三个成等差数列的数的设法.
【例6】已知a、b、c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也成等差数列.
证∵a、b、c成等差数列
∴2b=a+c
∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c
=a+(a+c)+c
=2(a+c)
∴b+c、c+a、a+b成等差数列.
说明如果a、b、c成等差数列,常化成2b=a+c的形式去运用;反之,如果求证a、b、c成等差数列,常改证2b=a+.
可能是等差数列.
分析直接证明a、b、c不可能是等差数列,有关等差数列的知识较难运用,这时往往用反证法.
证假设a、b、c是等差数列,则2b=a+c
∴2ac=b(a+c)=2b2,b2=ac.
又∵ a、b、c不为0,
∴ a、b、c为等比数列,
又∴ a、b、c为等差数列,
∴ a、b、c为常数列,与a≠b矛盾,
∴假设是错误的.
∴ a、b、c不可能成等差数列.
【例8】解答下列各题:
(1)已知等