等差数列与等比数列资料.doc

等差数列与等比数列资料.doc等差数列与等比数列
基础知识

  定义1. 按照某一法则,给定了第1个数,第2个数,………,对于正整数有一个确定的数,于是得到一列有次序的数我们称它为数列,用符号表示。数列中的每项称为数列的项,第项称为数列的一般项,又称为数列的通项。
  ,称这个数列为有限数列;当一个数列的项数为无限时,则称这个数列为无限数列。
  ,如果从第2项起,每一项都不小于它的前一项,即,这样的数列称为递增数列;如果从第2项起,每一项都不大于它的前一项,即,这样的数列称为递减数列。
  ,即,其中是某一个正数,则称这样的数列为有界数列,否则就称为是无界数列。
  ,项数与具有如下的函数关系:,则称这个关系为数列的通项公式。
 
  ,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示。
  等差数列具有以下几种性质:
  (1)等差数列的通项公式:或;
  (2)等差数列的前项和公式:或;
  (3)公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数;
  (4)公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数;
  (5)设是等差数列,则(是常数)是公差为的等差数列;
  (6)设,是等差数列,则(是常数)也是等差数列;
  (7)设,是等差数列,且,则也是等差数列(即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列);
  (8)若,则;特别地,当时,;
  (9)设,,,则有;
  (10)对于项数为的等差数列,记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和,则,;
  (11)对于项数为的等差数列,有,;
  (12)是等差数列的前项和,则;
  (13)其他衍生等差数列:若已知等差数列,公差为,前项和为,则
        ①.为等差数列,公差为;
  ②.(即
)为等差数列,公差;
  ③.(即)为等差数列,公差为.
 
  ,如果有一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于现中一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做公比;公比通常用字母表示(),即。
  等比数列具有以下性质:
  (1)等比数列的通项公式:或;
  (2)等比数列的前项和公式:;
  (3)等比中项:;
  (4)无穷递缩等比数列各项公式:对于等比数列的前项和,当无限增大时的极限,叫做这个无穷递缩数列的各项的和,记为,即;
  (5)设是等比数列,则(是常数),仍成等比数列;
  (6)设,是等比数列,则也是等比数列;
  (7)设是等比数列,是等差数列,且则也是等比数列(即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列);
  (8)设是正项等比数列,则是等差数列;
  (9)若,则;特别地,当时,;
  (10)设,,,则有;
  (11)其他衍生等比数列:若已知等比数列,公比为,前项和为,则
  ①.为等比数列,公比为;
  ②.(即)为等比数列,公比为;
  典例分析
  ,项数不小于3,且各项之和为972,则这样的数列有_____________个。
  解:设等差数列的首项为,公差为。由已知有,即。又因为,所以只可能取,又因为且均为整数,故;
  若,由于为正数,则,即,故,这时有或;
  若,则,这时有或。
  ,A是S的三元子集,满足:A中元素可以组成等差数列,那么这样的三元子集有___________个。
  解:若成等差数列,则,从而首未两项奇偶相同,且首未两项一旦确定,那么等差数列也就随之确定了。但是值得注意的是,虽然成等差数列时,也成等差数列,但它们所对应的是同一个集合A={}。
  将S按数的奇偶性分成与两个子集。
  从中取出两个数作为等差数列的首未两项,共有种不同的取法;
  从中取出两个数作为等差数列的首未两项,共有种不同的取法;
所以共有+种不同的取法。
  ,A为至少含有两项且公差为正的等差数列,其项都在S中,且添加S的其它元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列,求这种A的个数(这里只有两项的数列也看作是等差数列)(1991年全国高中数学联赛二试第一题)
  分析:可先对特殊的n(如n=1,2,3)通过列举法求出A的个数,然后总结规律,找出的递推关系,从而解决问题;也可以就A的公差时,讨论A的个数。
  解法一:设元素集中满足条件的A有个,则,,……如此下去,可以发现。
  事实上,比的A增加的公差为