井冈山大学数学物理方法复习.pptx

第一章复变函数
一个复数z可以表示为某个实数x与某个纯虚数iy的和
代数式,x=Re z, y= Im z
极坐标:
一个复数的幅角值不能唯一的确定,可以取无穷多值,相差2π整数倍。规定满足条件,
的一个特定值,arg z 为 Arg z的主值(主幅角)。
共轭复数
常用的复变函数
若函数在的领域内(包括本身)已经单值确定,并且, 则称f(z) 在点连续。
连续
导数
若函数在一点的导数存在,则称函数在该点可导。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件:
、、、在点不仅存在而且连续。
(ii)C-R条件在该点成立。C-R条件为
解析
若函数不仅在一点是可导的,而且在该点的领域内点点是可导的,则称该点是解析的。
解析的必要条件:函数f(z)=u+iv在点z的领域内
(i) 、、、存在。
(ii)C-R条件在该点成立。
解析的充分条件:函数f(z)=u+iv在领域内(i) 、、、不仅存在而且连续。
(ii)C-R条件在该点成立。
解析函数和调和函数的关系
拉普拉斯方程的解都是调和函数:
①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数,因为它们不一定满足C—R条件。
②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时,如何求v(x,y)?
通过C—R条件列微分方程
第二章复变函数的积分
单连通柯西定理:若函数f(z)在单连区域D内解析,则它沿D内任一围线
的积分都等于零。
复连通区域柯西定理:
解析函数的积分值与路径无关!
式中l为区域外边界线,诸li为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.
柯西公式
若f(z)在单连有界区域D内解析,在闭区域D的边界连续,则对于区域D
的任何一个内点 a,有其中是边界线。
柯西导数公式
非常重要的特例:
任意函数总可以在解析区域写成幂级数形式:泰勒级数或洛朗级数
第三章幂级数展开
幂级数收敛判定:比值判定法(达朗贝尔判别法)
函数项级数的各项都是幂函数,
解析函数的泰勒级数展开
设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析,则对圆内的任意z点,f(z)可展开为幂级数,
其中,
CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆.