专题6运动产生线段和差.doc

2012年全国中考数学(100套)压轴题分类解析汇编
专题6:由运动产生的线段和差问题
1.(2012北京市8分)在平面直角坐标系xoy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,
给出如下定义:
若∣x1-x2∣≥∣y1-y2∣,则点P1与点P2的“非常距离”为∣x1-x2∣;
若∣x1-x2∣<∣y1-y2∣,则点P1与点P2的“非常距离”为∣y1-y2∣.
例如:点P1(1,2),点P2(3,5),因为∣1-3∣<∣2-5∣,所以点P1与点P2的“非常距离”为
∣2-5∣=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x
轴的直线P2Q的交点)。
(1)已知点,B为y轴上的一个动点,
①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标;
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)已知C是直线上的一个动点,
①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;
②如图3,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最
小值及相应的点E和点C的坐标。

【答案】解:(1)①(0,-2)或(0,2)。
②。
(2)①设C坐标为,如图,过点C作CP⊥x轴于点P,作CQ⊥y轴于点Q。
由“非常距离”的定义知,当OP=DQ时,点C与点D的“非常距离”最小,
∴。
两边平方并整理,得,解得,或(大于,舍去)。
∴点C与点D的“非常距离”的最小值距离为,此时。
②设直线与x轴和y轴交于点A,B,过点O作直线的垂线交直线于点C,交圆于点E,过点C作CP⊥x轴于点P,作CQ⊥y轴于点Q,过点E作EM⊥x轴于点M,作EN⊥y轴于点N。
易得,OA=4,OB=3,AB=5。
由△OAB∽△MEM,OE=1,得OM=,ON=。∴。
设C坐标为
由“非常距离”的定义知,当MP=NQ时,点C与点E的“非常距离”最小,
∴。
两边平方并整理,得,
解得,或(大于,舍去)。
∴点C与点E的“非常距离”的最小值距离为1,此时,。
【考点】新定义,直线上点的坐标与方程的关系,直线和圆的性质,解一元二次方程,勾股定理,相似三角形的和性质。
【分析】(1)根据“非常距离”的定义可直接求出。
(2)①解题关键是,过C点向x、y轴作垂线,当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短,理由是,如果向下(如左图)或向上(如右图)移动C点到达C’点,其与点D的“非常距离”都会增大。故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。
②同①,同时理解当OC垂直于直线时,点C与点E的“非常距离”最小。
2. (2012广西南宁10分)已知点A(3,4),点B为直线x=-1上的动点,设B(-1,y).
(1)如图1,若点C(x,0)且-1<x<3,BC⊥AC,求y与x之间的函数关系式;
(2)在(1)的条件下,y是否有最大值?若有,请求出最大值;若没有,请说明理由;
(3)如图2,当点B的坐标为(-1,1)时,在x轴上另取两点E,F,且EF=,线段EF平移至何处时,四边形ABEF的周长最小?求出此时点E的坐标.
【答案】解:(1)如图1,过点A作AE⊥x轴于点E.
在△BCD与△CAE中,
∵∠BCD=∠CAE=90°-∠ACE,∠BDC=∠CEA=90°,
∴△BCD∽△CAE,∴。
∵A(3,4),B(-1,y),C(x,0)且-1<x<3,
∴。
∴y与x之间的函数关系式为(-1<x<3)。
(2)y没有最大值。理由如下:
∵,
又∵-1<x<3,∴y没有最大值。
(3)如图2,过点A作x轴的平行线,并且在这条平行线上截取线段AA′,使AA′=1,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,交x轴于点E,在x轴上截取线段EF=1,则此时四边形ABEF的周长最小。
∵A(3,4),∴A′(2,4)。
∵B(-1,1),∴B′(-1,-1)。
设直线A′B′的解析式为y=kx+b,
则,解得。
∴直线A′B′的解析式为。
当y=0时,,解得。
∴线段EF平移至如图2所示位置时,四边形ABEF的周长最小,
此时点E的坐标为(,0)。
【考点】一次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值,轴对称的性质,三角形三边关系。
【分析】(1)过点A作AE⊥x轴于点E,先证明△BCD∽△CAE,再根据相似三角形对应边成比例即可
求出y与x之间的函数关系式。
(2)先运用配方法将写成顶点式,再根据自变量x的取值范围即可