全概率公式与贝叶斯公式.doc

§ 全概率公式与贝叶斯公式
教学对象: 数学专业本科生
教学目标: 让学生掌握全概率公式与贝叶斯公式的应用
课型: 新授课
课时: 1课时
重点与难点:全概率公式与贝叶斯公式的应用背景、相互的联系与区别以及在实际中的应用
教学方法: 讲授法,情境问题法
教学安排: (1)课堂导入(2)讲授新课、举例(3)拓展与思考(4)思考(5)布置作业
教学过程:
给出引例,导入新课
在前面的学****中,我们已经熟悉了求概率的几种方法:频率方法、古典方法和几何方法,对较简单的事件,这些方法是很好用的,但是当事件比较复杂时,这些方法用起来就显得力不从心了。
引例小王要去外地出差几天,家里有一盆花交给邻居帮忙照顾。若已知如果几天内邻居记得浇水,,如果几天内邻居忘记浇水,,假设小王对邻居不了解,,问:几天后他回来花还活着的概率。
讨论:这个问题可以用我们以前所学过的方法求解吗?
【评析】对此类较复杂的概率问题,用我们以前的知识就解决不了了。
讲授新课
在上例中,事件“花活着”有两种情况可以导致它发生:记得浇水和忘记浇水,而“记得浇水”和“忘记浇水”把样本空间划分成了两个互不相容的部分,称为一个划分,具体的定义如下:
划分
定义1 设,且满足
①(完全性);
②对,(互斥性)。
则称构成的一个划分。
【课堂提问】
能举出日常生活中划分的例子吗?
最简单的划分是怎样的?
仔细观察上图,当构成的一个划分,是否也将任一个事件划分成了若干个互不相容的部分?它们如何表示?
【评析】
一块玻璃摔在地上破碎了,各个碎片就是原来玻璃的一个划分。
最简单的划分就是和.
当构成的一个划分,也将任一个事件划分成了若干个互不相容的部分,它们分别表示为,当然,它们中间可能有的是。
全概率公式
在上例中,设=“记得浇花”, =“忘记浇花”,则和就构成了的一个划分,设事件=“花还活着”,则也被和划分为两个互不相容的部分:。
由前面概率的性质知道:
=+
=。
(全概率公式)设为样本空间的一个划分,如果,则对任一事件有
.
证明:略
【例题1】某保险公司把被保险人分为3类:“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表明,,;如果“谨慎的”被保险人占20%, “一般的”占50%,“冒失的”占30%,一个被保险人在一年内出事故的概率是多大?
解:设=“他是谨慎的”, =“他是一般的”, =“他是冒失的”,则
构成了的一个划分,设事件=“出事故”,由全概率公式:
=。

在“浇花”的例子中,我们反过来思考这样一个问题:假若小王回来,发现花还活着,那么,邻居记得浇花的概率是多大?
即已知结果,要求这个结果是由某种原因所导致的概率,这就是贝叶斯公式解决的问题。
(贝叶斯公式) 设是样本空间的一个划分,则
证明:略。
回到上面的例子中,可以求出当发现花还活着,邻居记得浇花的概率
【例题2】
,现用甲胎蛋白法进行普查,医学研究表明,化