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函数的奇偶性
教学目的:理解函数的奇偶性、单调性,会以正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数及它们的线性组合为载体研究函数的性质和图像特征
教学重点:
,会证明简单函数的奇偶性;
、单调区间的概念和图像特征,会证明简单函数的单调性
教学过程
知识点一:偶函数的定义及判断
:设函数y=f(x) ( xD ),任取xD ,有 f(-x)=f(x) ,则称函数y=f(x) 为偶函数.
:判断函数定义域D关于原点对称是这个函数为偶函数的必要非充分条件,因此判断一个函数是否为偶函数首先判断定义域,然后求f(x).

函数f(x)是偶函数函数f(x)图像关于y轴对称,如果要作出偶函数,那么y=f(x)的图像关于y轴成轴对称图形,反之,那么这个函数必是偶函数.
知识点二:奇函数的定义及判断
:设函数y=f(x) ( xD ),任取xD ,有 f(-x)=-f(x) ,则称函数y=f(x) 为奇函数.
:如果函数 y=f(x) ( xD ) 是奇函数,那么 y=f(x) 的图像关于原点成中心对称图形
,反过来,如果一个的图像关于原点成中心对称图形,那么这个函数必是奇函数.

函数f(x)是奇函数函数f(x)图像关于y轴对称,如果要作出奇函数,那么y=f(x)的图像关于y轴成轴对称图形,反之,那么这个函数必是奇函数.
【思维拓展】
常数函数f(x)= c (x R) 一定是偶函数;若c=0 则f(x) 既是偶函数又是奇函数;反之,一个函数f(x) 既是偶函数又是奇函数 f(x)=0,( x D ,其中D是关于原点对称的任何一个非空数集)如D=(-2,2) ,D={1,2,-1,-2} ,D={0} .
知识点三:函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性时,首先要看函数的定义域是否关于原点对称,如果定义域关于原点不对称,
那么,函数既不是奇函数又不是偶函数。
此外,还可以根据下面的规律来判断函数的奇偶性:
偶函数与偶函数的和函数是偶函数
偶函数与奇函数的和函数是非奇非偶函数
奇函数与奇函数的和函数是奇函数
偶函数与偶函数的积函数是偶函数
偶函数与奇函数的积函数是奇函数
奇函数与奇函数的积函数是偶函数在函数y=(1+x)(1-x), y= ,y=, y=中,为奇函数的是___________.
在函数y= ,y= , y= ,y= 中,为偶函数的是___________.
函数y= 的图像关于________________对称.
函数f(x)、g(x)在区间[-a,a]上都是奇函数,且g(x) 0 ,则下列函数
f(x)+g(x) , ②f(x)-g(x) , ③ f(x) ·g(x) ,④中,
为奇函数的是_______________ ,为偶函数的是____________ (填序号)

:
(1) f(x)= ; (2)f(x)=
(3)f(x)= (4) f(x)=
(5) f(x)=

(x) = ,求证f(x)是奇函数.
(x+y)+ f(x-y)= 2f(x) ·f(y)对一切实数x、y都成立,且f(0) ≠0,
求证:f(x)是偶函数。
拓展创新
(x)是定义在R上的任意一个函数,请以f(x)和f(-x)为基础构造函数F(x):
(1)使F(x)为偶函数(2)使F(x)为奇函数下列四个命题:
偶函数的图像一定与纵轴相交
奇函数的图像一定通过原点
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只能是f(x)=0 (xR)
(4)偶函数的图像关于纵轴对称
其中正确的命题是( )
(A) (3) (B) (4)
(C) (2)(3)(4) (D) (1)(2)(3)

(x)的定义域为R,且f(x+y)=f(x)-f(y),则f(x)是( )
(A) 奇函数(B)既是奇函数又是偶函数
(C)偶函数(D)既非奇函数又非偶函数

=f(x)是奇函数,则下列各点中,在函数y=f(x)图像上的点是( )
(A) (a , f(-a)) (B)(-a , f(a))
(C) (-a,-f(-a)) (D) (-a,-f(a))
(x)= ,且f(2)=0,求f(-2)的值.
(x)是偶函数,求的值.
:
(1) (2) f(x)=
(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f