2002高考数学题.doc

编制高考数学试题的基本程序
要设计出一道好的问题,一般要经历几个步骤,下面结合2002年高考数列题的编拟过程加以说明。
例5:(22)设数列满足:,
(I)当时,求并由此猜测的一个通项公式;
(II)当时,证明对所的,有
(i)
(ii)。
一、解法:
第一问是根据已知中的递推关系式及首项,求出相应的,即可猜测的一个通项公式:
由,得
由,得
由,得
由此猜想的一个通项公式:()
第(II)问证明,对所的,对于属于自然数的证明方法很容易想到用数学归纳法证明:①当时,,不等式成立.
②假设当时不等式成立,即,那么
.
也就是说,当时,
据①和②,对于所有,有.
比较难解决的是第三问:证明不等式,中学阶段往往用到放缩法。从原题看,我们为了比较大小,应该使所研究的不等式两边有相同的结构。,又,所以只需证明:
即可。
比较两个通项与的大小,即只需证明:。下面为解题过程:
(ii)由及(i),对,有
即,……
将上述n-1个式自累乘,可得:,即
另证:由及(i),对,有
……
于是,
二、有关本题的命题方法:
(1)立意与选材:立足一定的考查目的和中心,明确编拟的意图,选取适当的材料是编写试题的第一步。立意是核心,选材服务于立意,两者之间往往交织在一起,通常是先立意,确定试题的编写意图,明确考查目的,然后再选用合适的材料作为题材,有时也可能是先注意到一些好的题材,用它编题,根据考查的目的,并作进一步的剪裁取舍。
选材的来源可以是多方面的,概括起来,大体可分为两大类:
第一类,由某些概念、性质或简单的基本问题出发(它们多数来源于教科书或相关资料),将它们与初步确定的考查要求联系起来,进行分析和思考,将有关的知识点、基本的方法,进行适当的有机组合,,因此往往选出的题材或多或少,,应有中心,渐次扩张和蔓延,尽力避免生硬拼凑的做法,防止把风马牛不相及的素材无机地堆砌在一起.
第二类,从数学研究中选取适当的素材;或从比较高的观点出发,物色问题;也可以从社会现象、自然现象、生活现象、,用这类方法选得的问题和素材,所蕴含的数学思想方法比较深刻,,要么过于具体,枝节横生,,将其化解分拆,变抽象为具体,将具体而又枝节横生者加以修剪、删繁就简,作有科学根据的概括、省略和近似处理,直至把它们变成符合构题条件的材料。用这类方法获得的题材进行命题,往往能获得形式新颖、考查功能良好、深刻的好试题.
简略地说,这两类选材方法是两种不同思路的反映,第一类方法所用的思路是:由低到高,由简到繁,由浅到深;第二类方法所用的思路是:由高到低,由繁到简,,出发点也不同,然而却殊途同归,为的只有一个中心,实现在高考中的数学能力考查.
上述高考题的编拟的基本目的是考查代数推理能力,以考查演绎推理为主,兼顾归纳推理,在可能的范围和程度上考查数学归纳法。据此选用数列这一题材,编拟试题的两个基本的原则:一是不出现变量间的大于、小于或者等于的关系,要求考生自己判