带权图的最短路.ppt

带权图的最短路
本节的教学内容
学校选址问题介绍
带权图的概念;
最短通路的概念;
迪克斯特拉算法介绍;
求解学校的最佳配置点
相关问题练****br/>本节课的要求
应知:带权图、最短通路的概念
应会:用迪克斯特拉算法求最短通路
学校选址问题
有A、B、C、D、E、F六个村子,如下图。各村之间的距离已知(边上的数字),各村的学生数分别是A:50人,B:40人,C:60人,D:20人,E:70人,F:90人。现要在公路旁的D村或E村建一所学校,问校址选在何处,才能使所有学生所走的总路程最短?
A
(50)
F
(90)
B(40)
C(60)
E(70)
D(20)
2
6
6
8
4
7
1
1
3
3
边权、带权图、最短通路
边权:若图G=(V,E)中每一条边e附加一个实数w(e),称w(e)为边e的权(有时也可说成是边的“长”)。
带权图:图G连同它的边上的权称为带权图,记为G=(V,E,w)。
最短通路:在带权图中给定两个结点vi与vj,如果从vi到vj有多条通路,构成某通路的边的“长”的和叫做该通路的“长度;从vi到vj的所有通路中,“长度”最小的通路叫做从vi到vj的最短通路。
A
(50)
F
(90)
B(40)
C(60)
E(70)
D(20)
2
6
6
8
4
7
1
1
3
3
如图右中,点D到F的最短通路是“DEF”(长度=4)
最短通路算法
当从一地到另一地有多条通路时,常常会提出寻找距离最短、需时最少、费用最省等的路径问题。这样的问题可归结为:在一个有a个结点和b条边的带权图(网络)上,寻找一条从结点s到结点t的最短通路,使得通路上各边上的权的总和为最小。
最短路径分析
权可以是距离、时间、运费、流量等,对不同的问题可进行不同内容最短分析。下面介绍的最短路径搜索的算法是迪克斯特拉(Dijkstra)在1959年提出的,被公认为是最好的算法之一。它的基本思想是:把图的顶点分为A,B两类,若起始点u到某顶点x的最短通路己求出,则将x归入A,其余归入B,开始时A中只有u,随着程序运行,B的元素逐个转入A, 直到目标顶点v转入后结束。
迪克斯特拉(Dijkstra)算法
G 是带权无向图,求结点a 到G 的任意结点v 的最短路。
(1)令A ={a},B 包括图G中去掉结点a的所有剩余部分。
(2)对B 中直接和A中某些结点邻接的那些结点进行考察,找出与起点a 距离最短的一个结点v(若存在多个,任选一个),记录这条最短路的长度,记做d (v)。
(3)将找出的结点v从B中划到A中。
(4)重复(2)、(3)两步,直到终点出现在A中为止。
a
f
e
b
c
d
3
6
1
2
5
8
3
7
4
9
:
上述过程可以直接用一个表格完成:
a
f
e
b
c
d
3
6
1
2
5
8
3
7
4
9
步骤
a b c d e f
最短路径
距离
1
2
3
4
5
6
从此例我们可以看到该表格有以下特点:
①从任何一个结点列来看,都是单调不增;
②从距离列来看,是单调不减;其值等于该行的最小数字
③最短路径为该最小数字首次出现前的最短路径+该结点
a
0
12
10
5
4
3
a,f,d
a,f,e,c
a,f,e
a,f,b
a,f
12
12
12
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
10
11
4 *
6
5
5
3*
0
*
*
12
*
*