2013北京四中高一数学知识提升讲解学案《正弦函数余弦函数的性质》（新人教a版必修1）.doc

正弦函数、余弦函数的性质
【学****目标】
、周期、最小正周期的定义;
、余弦函数在区间上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与轴的交点等)。
【要点梳理】
要点一:周期函数的定义
函数,定义域为I,当时,都有,其中T是一个非零的常数,则是周期函数,T是它的一个周期.
要点诠释:
,只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.
,如果所有的周期中存在一个最小的正数,就称它为最小正周期,三角函数中的周期一般都指最小正周期.
要点二:正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数
正弦函数y=sinx
余弦函数y=cosx
定义域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
最小正周期
最小正周期
单调区间
k∈Z
增区间
减区间
增区间
减区间
最值点
k∈Z
最大值点
最小值点
最大值点
最小值点
对称中心
k∈Z
对称轴
k∈Z
要点诠释:
(1)正弦函数、余弦函数的值域为,是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线,如果定义域不是全体实数,那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是
,因而求正弦函数、余弦函数的值域时,要特别注意其定义域。
(2)求正弦函数的单调区间时,易错点有二:一是单调区间容易求反,要注意增减区间的求法,如求的单调递增区间时,应先将变换为再求解,相当于求的单调递减区间;二是根据单调性的定义,所求的单调区间必须在函数的定义域内,因此求单调区间时,必须先求定义域。
要点三:正弦型函数和余弦型函数的性质。
函数与函数可看作是由正弦函数,余弦函数复合而成的复合函数,因此它们的性质可由正弦函数,余弦函数类似地得到:
(1)定义域:
(2)值域:
(3)单调区间:求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答,即把视为一个“整体”,分别与正弦函数,余弦函数的单调递增(减)区间对应解出,即为所求的单调递增(减)区间。比如:由解出的范围所得区间即为增区间,由解出的范围,所得区间即为减区间。
(4)奇偶性:正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性。对于函数,当时为奇函数,当时为偶函数;对于函数,当时为偶函数,当时为奇函数。
要点诠释:
判断函数,的奇偶性除利用定义和有关结论外,也可以通过图象直观判断,但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件。
(5)周期:函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关,其周期为。
(6)对称轴和对称中心
与正弦函数比较可知,当时,函数取得最大值(或最小值),因此函数的对称轴由解出,其对称中心的横坐标,即对称中心为。同理,的对称轴由解出,对称中心的横坐标由解出。
要点诠释:
若,则函数和函数不一定有对称轴和对称中心。
【典型例题】
类型一:正弦函数、余弦函数的定义域与值域
;
【解析】为使函数有意义,需满足2sin2x+cos x-1≥0,即2cos2x―cos x―1≤0,解得。
画出余弦函数的图象或单位圆,如下图所示。

∴定义域为。
【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性,在进行三角函数的变形时,要注意三角函数的每一步都保持恒等,即不能改变原函数的自变量的取值范围。
举一反三:
【变式1】求函数的定义域.
【解析】由(k∈Z).
又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1.
故所求定义域为.
【变式2】已知的定义域为[0,1),求的定义域.
【思路点拨】求函数的定义域:要使0≤cosx<1,这里的cosx以它的值充当角.
【解析】0≤cosx<1,且.
∴所求函数的定义域为.
:
(1)y=|sin x|+sin x;
(2),;
(3)。
【解析】(1)∵,
又∵-1≤sin x≤1,∴y∈[0,2],即函数的值域为[0,2]。
(2)∵,∴。
∴。∴,
∴0≤y≤2。∴函数的值域为[0,2]。
(3)∵,
当cos x=-1时,,
∴函数的值域为。
【总结升华】一般函数的值域求法有:观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等,而三角函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质。
举一反三:
【变式1】求函数y=3sin2x-4sin x+1,的值域。
【答案】
【解析】,
令t=sin x,因为,所以t∈[0,1],
,t∈[0,1],所以。
类型二:正弦函数、余弦函数的单调性
:
(1);(2)。
【思路点拨】(1)要将