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第4章 平面单元(plane).doc


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第4章平面问题的有限元法 1
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利用平面三角形单元进行整体分析 6
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边界条件的引入以及整体刚度矩阵的修正 9
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计算实例 11第4章平面问题的有限元法
平面问题的有限单元法不仅可以对实际的具有平面特征的机械结构进行计算,还可以通过它掌握有限单元法的基本思想和基本步骤。本章详细介绍平面三角形单元的基本原理、用平面三角形单元进行结构有限元分析的主要步骤,并给出了示例。

平面弹性问题可以被分成两类:平面应力问题和平面应变问题。在平面应力问题中,连续体的二维坐标尺寸远大于第三维尺寸(如板),平面的法向应力可以忽略。在平面应变问题中,连续体的二维坐标尺寸远小于第三维尺寸,加载平面的法向应变可以假设为零。因此分析该连续体的应力和位移时,可以通过分析其法向应变为零的一个横断面来完成。
平面问题可以用最简单的平面三角形常应变单元加以分析。在这节中讨论平面三角形单元的构造方法,给出用平面三角形单元求解平面应力问题的详细过程。
平面三角形单元刚度矩阵的推导包括如下六个方面。
(1) 选择合适的单元,建立坐标系统,进行结构离散
在有限单元法分析问题时,第一步就是要选择合适的单元,确定合理的坐标系统,对弹性体进行离散化,把一个连续的弹性体变换为一个离散化的有限元计算模型。
采用三角形单元,把弹性体划分为有限个互不重叠的三角形。用平面三角形分析时,可以只建立一个整体坐标系Oxy。这些三角形在其顶点(即结点)处互相连接,组成一个单元集合体,以替代原来的弹性体。同时,将所有作用在单元上的载荷(包括集中载荷、表面载荷和体积载荷),都按虚功等效的原则移置到结点上,成为等效结点载荷。由此得到平面问题的有限元计算模型,如图4-1所示。
图4-1 弹性体和离散化后的有限元计算模型
对于其中任意一个三角形单元,如图4-2所示,结点编号1、2、3 按逆时针顺序编排,三个结点的位置坐标分别是,和。
对于平面问题,每个结点有x和y两个(位移u和v,即有两个)方向的自由度。可以认为三角形单元共有6个自由度,即{}T,相应的单元结点力分量分别为{}T。
图4-2 直角坐标系下平面三角形单元的结点位移和结点力
三角形单元的6个结点位移分量用列阵表示为
()
三角形单元的结点载荷列阵表示为
()
单元结点载荷列阵和结点位移列阵之间的关系可用下式表示
()
其中,为单元刚度矩阵。对于平面三角形单元,结点位移列阵和结点载荷列阵都是6阶的,单元刚度矩阵是一个阶的矩阵。
(2) 选择合适的位移函数
在有限单元法中,用离散化模型来代替原来的连续体,每一个单元体仍是一个弹性体,所以在其内部依然是符合弹性力学基本假设,弹性力学的基本方程在每个单元内部同样适用。如果弹性体内的位移分量函数已知,则应变分量和应力分量也就确定了。但是,如果只知道弹性体中某几个点的位移分量的值,仍然不能直接求得单元内各点的应变分量和应力分量。因此,在进行有限元分析时,必须首先假定一个位移模式,也就是单元内部各点位移的变化规律。在每个单元的局部范围内,可以采用比较简单的函数来近似地表示单元的位移。
考虑建立以单元结点位移表示的单元内各点位移的表达式,选择一个简单的单元位移模式,单元内各点的位移可按此位移模式由单元结点位移通过插值得到。设平面三角形单元的位移模式为:
()
由于在x和y方向的位移都是线性的,从而保证了沿接触面方向相邻单元间任意结点位移的连续性。
(3) 用结点位移表示单元内部各点位移
三角形单元的三个结点必定满足位移模式的要求。将单元三个结点的坐标和三个结点位移都代入位移模式方程可以求解。已知单元三个结点的坐标分别为,,。对于结点1有
类似的,结点2、3也按上述方法处理,三个结点的位移模型表达式可以组成如下方程组
利用上式就可求出未知的多项式系数,即
可以求得,
()
得到单元内任意一点的位移为
()
式中, 为形函数矩阵,。
平面三角形单元的形函数矩阵具体表达式如下
, ()
其中, I为2阶单位矩阵, ;D 为三角形单元的面积;
()
式中的其它各个系数为
(1、2、3轮换) () ()
式()经过整理可以写成如下展开形式
()
(4) 用结点位移表达单元内任一点的应变
三角形单元用于解决弹性力学平面问题,单元内任一点的应变列阵满足几何方程
()
式中,和是线应变,是剪应变。上式中的分别用位移模式方程式()

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