圆锥曲线的统一定义.ppt

圆锥曲线的统一定义
【复****回顾】
椭圆的定义:
双曲线的定义:
抛物线的定义:
平面内到两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。
平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。
平面内到一个定点和一条定直线( 不在直线上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
【问题情境】
平面内到一定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。当这个比值不是等于1的常数时,动点P的轨迹又是什么曲线呢?
【探究发现】
问题2:若问题1中的条件(a>c>0)改为(c>a>0),点P的轨迹呢?
问题1:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的
距离是它到定直线的距离的比是常数
,求点P的轨迹?
圆锥曲线的统一定义
平面上到一个定点F和它到一条定直线l的距离之比是一个常数e的点的轨迹方程是圆锥曲线。
(点F不在直线l上)
当0<e<1时,轨迹是椭圆;
当e>1时,轨迹是双曲线;
当e=1时,轨迹是抛物线。
其中e是圆锥曲线的离心率,
定点F是圆锥曲线的焦点,
定直线l是圆锥曲线的准线。
问题3:抛物线有一个焦点和一条准线,那么椭圆和双曲线各有几条准线呢?
问题4:椭圆和双曲线
的准线方程是什么?
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
P
例1:已知椭圆上一点P到左焦点的距离为8,求P点到右准线的距离。
解:方法一:由椭圆定义求出点P到右焦点的距离,再利用圆锥曲线统一定义求出P点到右准线的距离。
设椭圆的左右焦点分别为
由椭圆的定义的得

设P点到右准线的距离为d
由定义得,由此可得
P
例1:已知椭圆上一点P到左焦点的距离为8,求P点到右准线的距离。
方法二:由圆锥曲线的统一定义
求出P点到左准线的距离,画图
可知两准线间的距离为P点到左、
右准线的距离之和求出P点到右
准线的距离。
设椭圆的左焦点为, P点到左、右准线的距离分别为
由定义得,由此可得

又,所以
变式训练
已知双曲线上一点P到左焦点
的距离为20,求P点到右准线的距离。