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线性代数
授课教师:高永丽
2010-2011第二学期
前节回顾:

①取项;②冠符;③求和。
2. 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性

是标准排列,
的逆序数。
其中,行标排列
任取一项:

t为列标排列
新的行标排列为
新的列标排列为
则它的逆序数r为奇数,即
记它的逆序数为,
则:
结论调换行列式的乘积项中两元素的次序,行标排列与列
标排列的逆序数之和不改变奇偶性。(调换若干次以后,
列表排列为标准排列)
定理2 (列顺序表示法) n 阶行列式也可定义为
注:n阶行列式的第三种表示方法:
其中 s 为行标排列
的逆序数;
的逆序数。
t 为列标排列
其中 s 为行标排列的逆序数。
此时列标排列为:
注:本题还有其它解法吗?
例1. 在6 阶行列式中,项应带什么符号?
列标排列的逆序数为:
故本项应带正号。
练****br/>在6阶在行列式中应该带什么符号呢?
解:
按行标排列成标准顺序, 得
431265
t=0+1+2+2+0+1=6
例2:用行列式的定义计算:
解:
其中t为列标排列:n-1 n-2… 1 n的逆序数,所以
例3. 证明:在所有 n 个元素的排列中,奇偶排列各占一半。
证明:设有s个奇排列,t个偶排列。
把t个偶排列的前两个元素对换,则这些偶排列全部
把s个奇排列的前两个元素对换,则这些奇排列全部
变为偶排列,即。
变为奇排列,
即,所以。
3. 行列式的性质
性质1:
证明:记
据行列式的定义:
注:所以在行列式中,行与列具有同等的地位,那么它们的性质也一样。下面介绍的其他性质只要对行成立的,对列也成立。
证明:
把交换两行后所得的行列式记为
则
性质2:
互换行列式的两行(列),行列式要变号。