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东北大学2007年研究生入学考试高等代数试题.doc

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东北大学
2007年研究生入学考试试题
考试科目:高等代数
(15分)
解:

(15分) BA=I,A称作左可逆,证明A左可逆的充要条件是A的列向量组线性无关.
证明:设
假设线性相关,这存在不全为零的使(1)
又因为,故
对(1)式每一项与做内积可得,即
,同理可得与假设矛盾,.
只需证有解即可.
由,,故必有解(因为方程的个数小于等于未知数的个数)
同理必有解,…,必有解.
令,则,,即
,所以左可逆.

(20分) 特解是,求该方程组的通解.
解:
,,(由).,故方程组的通解为
为任意常数.
(20分) ,求.
解:递推:

所以
(40分) 对矩阵的加法和数乘构成R上的线性空间, , .
求证W对矩阵的加法和数乘也构成R上的线性空间;
求W的一组基和维数;
,求证是W上的一个线性变换;
求在一组基下的矩阵M;
M可否相似于对角矩阵?若可以,可写出相似关系.
证明(1)假设,那么

即与仍在中,.
(2)是维的,它的一组基为.
(3),因为

所以是W上的一个线性变换.
(4)假设为的一组基,则
依次进行下去
…
所以在这组基下的矩阵为

(5)
即
当时,因为,
所以M不相似于对角矩阵.
(15分) 是线性空间V的子空间,i=1,2, 表示直和)成立的充要条件是存在,且在中的分解式唯一.
证明:由直和的定义,显然成立.
假设任一,,对此式两边同时加,由分解唯一,,
又

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