虚功原理证明.ppt

4-2 变形体虚功原理(Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work)
功:力对物体作用的累计效果的度量
功=力×力作用点沿力方向上的位移
实功:力在自身所产生的位移上所作的功
虚功:力在非自身所产生的位移上所作的功
变形体虚功原理(Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work)
力状态
位移状态
(虚力状态)
(虚位移状态)
注意:
(1)属同一体系;
(2)均为可能状态。即位移
应满足变形协调条件;
力状态应满足平衡条件。
(3)位移状态与力状态完全无关;
变形体虚功原理(Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移(Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=P× 
P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力
2)作虚功的力系为一个集中力偶
3)作虚功的力系为两个等值
反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值
反向的集中力
(1)质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系,在某一位置处于平衡的必要和充分条件是:
三、变形体的虚功原理
Σfi δri=0
→
→
.
对于任何可能的虚位移,作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即
(2)刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应的反力,该反力便可看成外力。则有:刚体系处于平衡的必要和充分条件是:
对于任何可能的虚位移,作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。
P
Δ
2Δ
3Δ/2
原理的表述:
任何一个处于平衡状态的变形体,当
发生任意一个虚位移时,变形体所受外力
在虚位移上所作的总虚功δWe,恒等于变
形体各微段外力在微段变形位移上作的虚
功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
δWe =δWi
(3)变形体的虚功原理
任何一个处于平衡状态的变形体,当发生任意一个虚
位移时,变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒
等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。
变形体虚功原理的证明:

所有微段的外力虚功之和 W
微段外力分
为两部分
体系外力
相互作用力
微段外力功
分为两部分
体系外力功dWe
相互作用力功dWn
微段外力功 dW= dWe+dWn
所有微段的外力功之和:
W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe

所有微段的外力虚功之和 W
微段外力功
分为两部分
在刚体位移上的功dWg
在变形位移上的功dWi
微段外力功 dW= dWg+dWi
所有微段的外力功之和:
W=∫dWi =δWi
微段位移分
为两部分
刚体位移
变形位移
故有δWe=δWi成立。
任何一个处于平衡状态的变形体,当发生任意一个虚
位移时,变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒
等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。
变形体虚功原理的证明:

所有微段的外力虚功之和 W
微段外力分
为两部分
体系外力
相互作用力
微段外力功
分为两部分
体系外力功dWe
相互作用力功dWn
微段外力功 dW= dWe+dWn
所有微段的外力功之和:
W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe

所有微段的外力虚功之和 W
微段外力功
分为两部分
在刚体位移上的功dWg
在变形位移上的功dWi
微段外力功 dW= dWg+dWi
所有微段的外力功之和:
W=∫dWi =δWi
微段位移分
为两部分
刚体位移
变形位移
故有δWe=δWi成立。
几个问题:
1. 虚功原理里存在两个状态:
力状态必须满足平衡条件;位移状态必须满足协调
条件。因此原理仅是必要性命题。
2. 原理的证明表明:原理适用于任何(线性和非线性)的
变形体,适用于任何结构。
3. 原理可有两种应用:
实际待分析的平衡力状态,虚设的协调位移状态,
将平衡问题化为几何问题来求解。
实际待分析的协调位移状态,虚设的平衡力状态,
将位移分析化为平衡问题来求解。
δWi 的计算:
δWi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
微段外力:
微段变形可看成由如下几部分组成:
(4)变形体虚功方程的展开式
微段剪切
微段拉伸
微段弯曲
对于直杆体系,由于变形互不耦连,有:
δWe =Σ∫[N