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平面向量综合应用(一)(教师版)
一、平面向量基本定理与向量共线定理的应用
,在中,已知,,过点作直线交、于、两点,则_______.
解:构造基底,,则,
,,
,.
设,,,,
因为点、、三点共线,所以(),
、不共线,
所以且,消去,得,
即,所以.
,为的中点,为边上靠近点的一个三等分点,与交于点,求:①与的长度之比;②与的长度之比.
解:设,,
因为为的中点,所以.
因为三点共线,所以存在唯一实数()
使得,①.
因为三点共线,所以存在唯一实数()使得,
即,解得②.
因为与不共线,所以比较①②得,解得,,
所以,,所以,.
点评: 基向量法:适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
二、平面向量基本定理与向量分解问题
,,则__________,__________.
解:不妨设,则,.由于,所以过点作的垂线,与的延长线交于点,则.∵,,∴,.
,,,其中,(1)求的最大值是________;(2)若存在最大值,则的取值范围为________.
解: (1)法一:设,由可得,
,
即
∴.
∴的最大值是.
法二:以点为坐标原点,为轴,建立平面直角坐标系,则,.
设(),由可得,
,∴,,
∴,,
∴,∴的最大值是.
法三:设,过点作的平行线交于点,过点作的平行线交于点,由及可知,,.
又,在中,由正弦定理得,∴,,
∴,∴的最大值是.
(2)由(1)可知,,
∴
(其中),
∴若存在最大值,则需,即,
∴,即,
,∴,即,
解之得.
3. 已知为内一点,,,,,,设,则__________.
解法一:过点作的平行线交的延长线于点,过点作的平行线交的延长线于点,则
,.
因为,,,
所以,,
,,所以,
所以,,所以.
解法二:因为,,,
所以,,
即,,解得,,
所以.
解法三:建立平面直角坐标系,为轴,为轴,
因为,,,,,,
所以,所以且,解得,,所以.
三、平面向量数量积(或模长)的取值范围(或最值)问题
、是两个互相垂直的单位向量,且,,,则对于任意实数、,的最小值是_______.
解:依题意,,且,
于是-
,
所以,当且仅当、时上式取得等号,故所求的最小值为.
,,,为的中点,若是线段上动点,则的最小值是_________.
解:,所以,
设(),则,
所以
,故所求最小值为.
3. 若均为单位向量,且,则的最大值是_________.
解:(法一)
(法二)几何法:如右图,即线段,易知点当点与点或点重合时线段最长且为1.
四、平面向量数量积与向量间的夹角(余弦值)或夹角范围问题
,都是非零向量,且与垂直,与垂直,求与的夹角.
解:依题意,
所以,解得且,
所以,所以,
因为,所以.
,是的中点,,,,若,则与的夹角的余弦值等于________.
解:因为,
所以,
即.
因为,,
,所以,
即.
设与的夹角,则有,
即,所以.
,且,若,则向量与的夹角的范围是____________.
解:设向量与的夹角为,则
.
因为,所以,所以,
所以向量与的夹角的范围是.
,的对边分别为,重心为,若,则__________.
解:因为为的重心,所以,
所以
,
因为与不共线,所以.
设的中点为,则,
所以,所以.
五、平面向量与求角形面积比问题
△的边上一点,为△内一点,且满足, ,则____________.
解:(法一) 连,则,所以,故,
故. 故选A.
(法二)依图可知,设为边AB的法向量,的高分别为,
因为,所以,即,
所以,.
,且有,求____________.
解:延长至,使,延长至,使得,则,.
同理,,
所以.
,记,,,
.若,则___________.
解:如图,,,因为,
所以,,,
所以点到的距离是点到的距离的,
点到的距离是点到的距离的,所以,,
.
六、参数及参数和的取值范围或最值问题
,点在的延长线上,,点为内(含边界)的动点,(),则的最大值等于_________.
解:(法一)显然点在线段上(不含点)上无法取得最大值,,