“最值问题”集锦.doc

“最值问题”集锦
●平面几何中的最值问题………………… 01
●几何的定值与最值……………………… 07
●最短路线问题…………………………… 14
●对称问题………………………………… 18
●巧作“对称点”妙解最值题…………… 22
●数学最值题的常用解法………………… 26
●求最值问题……………………………… 29
●有理数的一题多解……………………… 34
●4道经典题……………………………… 37
●平面几何中的最值问题
在平面几何中,我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题,有时它和不等式联系在一起,,可以达到最经济、.
在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种:
(1) 应用几何性质:
①三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
②两点间线段最短;
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;
④定圆中的所有弦中,直径最长。
⑵运用代数证法:
①运用配方法求二次三项式的最值;
②运用一元二次方程根的判别式。
例1、A、B两点在直线l的同侧,在直线L上取一点P,使PA+PB最小。
分析:在直线L上任取一点P’,连结A P’,BP’,
在△ABP’中AP’+BP’>AB,如果AP’+BP’=AB,则P’必在线段AB上,而线段AB与直线L无交点,所以这种思路错误。
取点A关于直线L的对称点A’,则AP’= AP,
在△A’BP中A’P’+B’P’>A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’=A’B,所以这时PA+PB最小。
1、已知AB是半圆的直径,如果这个半圆是一块铁皮,ABDC是内接半圆的梯形,试问怎样剪这个梯形,才能使梯形ABDC的周长最大(图3-91)?
分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长,∥CD,必有AC==2y,AC=x,那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可.
解作DE⊥AB于E,则 x2=BD2=AB·BE=2R·(R-y)=2R2-2Ry,
所以
所以求u的最大值,只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可.
-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2,
上式只有当x=R时取等号,这时有
所以 2y=R=x.
所以把半圆三等分,便可得到梯形两个顶点C,D,
这时,梯形的底角恰为60°和120°.
2 .如图3-92是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得出最大面积,使得窗户透光最好?
分析与解设x表示半圆半径,y表示矩形边长AD,则必有       2x+2y+πx=8,
若窗户的最大面积为S,则
把①代入②有
即当窗户周长一定时,窗户下部矩形宽恰为半径时,窗户面积最大.
3. 已知P点是半圆上一个动点,试问P在什么位置时,PA+PB最大(图3-93)?分析与解因为P点是半圆上的动点,当P近于A或B时,显然PA+PB渐小,在极限状况(P与A重合时),猜想P在半圆弧中点时,PA+PB取最大值.
设P为半圆弧中点,连PB,PA,延长AP到C,使PC=PA,连CB,+PB最大,我们在半圆弧上另取一点P′,连P′A,P′B,延长AP′到C′,使P′C′=BP′,连C′′,则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°,
所以A,B,C′,C四点共圆,′A=∠CBA=90°,
所以在△ACC′中,AC>AC′,即PA+PB>P′A+P′B.

4 如图3-94,在直角△ABC中,AD是斜边上的高,M,N分别是△ABD,△ACD的内心,直线MN交AB,AC于K,:S△ABC≥2S△AKL.
证连结AM,BM,DM,AN,.
因为在△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC于D,
所以∠ABD=∠DAC,∠ADB=∠ADC=90°.
因为M,N分别是△ABD和△ACD的内心,所以∠1=∠2=45°,∠3=∠4,
所以△ADN∽△BDM,
又因为∠MDN=90°=∠ADB,所以△MDN∽△BDA,
所以∠BAD=∠MND.
由于∠BAD=∠LCD,所以   ∠MND=∠LCD,
所以D,C,L,N四点共圆,所以∠ALK=∠NDC=45°.
同理,∠AKL=∠1=45°,所以AK=△AKM≌△ADM,
所以 AK=AD=
而
从而
所以 S△ABC≥S△AK