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第十一章多元函数微分学2.ppt

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偏导数
定义设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义, 当偏增量
z=f(x0+x,y0) f(x0,y0)与x 比值的极限
偏导数的概念

则称此极限为z=f(x, y) 在点(x0, y0)处对x的偏导数,
1
z=f(x, y) 在点(x0, y0)处对y的偏导数可定义为:
如果 z=f(x, y)在区域 D内任一点(x, y)处对 x的偏导数
都存在, 则这样确定了一个新的函数, 称为z=f(x, y)对x
的偏导函数, 简称为 x 的偏导数, 记作:
2
如果函数 z=f(x, y)在区域 D内任一点(x, y)处对 y的
偏导数都存在, 则这样确定了一个新的函数,
称为 z=f(x, y)对 y 的偏函导数, 记作:
3
偏导数与偏导函数的关系:
n元函数z=f(x1, x2, ...,xn)的偏导数的定义为:
三元函数 u=f(x,y,z)的偏导数的定义为:
4
B. 二元函数偏导数的几何意义
二元函数 z=f(x,y) 在点(x0,y0)处对 x 的偏导数 fx(x0,y0),
就是一元函数 z=f(x,y0) 在点(x0,y0)处的导数,
也就是空间曲线:
在点M0(x0,y0,f(x0,y0))处的
切线M0T1关于x 轴的斜率.
5
同样, fy(x0, y0), 就是空间曲线:
在点M0(x0,y0,f(x0,y0))处的
切线M0T2关于y 轴的斜率.
6
C. 简单的多元函数偏导数的求法
例1. 求函数
7
例2. 设
解:
8
例2. 设
解法二: z=z(x, y)中, 令y=x,
9
例3. 已知理想气体状态方程:
证明:
10

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