两个重要极限的应用探讨.doc

两个重要极限的应用探讨
学生:牛玺娟指导教师:郭媛
摘要
微积分中的两个重要极限是:①; ②,,讨论了关于两个重要极限的变形极限的判断方法及应用,在分析重要极限的6 个基本特征的基础上,给出了4个推广命题,指出了应用对型极限的快捷计算方法,并给出了该重要极限公式与实际应用的结合.
关键词: 两个重要极限;推广;应用
Abstract
Two important limits are the basis of calculus. This paper discussed the essential meaning of two important limits and proved them using different method. Finally,the paper shows the application of two important limits in limits calculation and elaborated the relation between two important limits and Hospital's Rule.
Key words:Two important limits; calculus; application;
第1章绪论
极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生的. 两个重要极限的证明必须以极限存在准则为基础,所以有必要首先介绍函数极限存在的两个准则。
准则1(夹逼准则):如果
(1)当x∈U(x0,r)或(|x|>M)时,
(2)或
那么或存在,且等于A.
准则2:单调有界数列必有极限。
两个重要极限的形式
通过极限存在准则的应用,得到两个重要极限。第一个重要极限的形式为:
()
第二个重要极限的形式为:
()
第一个重要极限的数值意义实际上就是函数y=sin x在x=0处的导数,,第二个重要极限的极限存在,《高等数学》教材上通常用字母e表示它,其实这个极限值就是无理数e。这个极限形式很特殊,尤其是这个极限值怎么会和e联系上了。实际上,可以通过第二个重要极限的来历来说明它们之间的联系。
谈起第二个重要极限的来历,要从复利率说起。假设P0为本金,年利率为r,那么第一年末的利息为P0r,本利的和就是P0+ P0r,用P1表示,即P1=P0+ P0r作为第二年的本金,到第二年末,就有本利总和P2= P0 (1+ r)2,这样一年一年继续下去,本金年年增加,利息也逐渐增多,到了第n年末,就有
()
和前边的方法一样,计算出如果每月把利息加入到本金一次,第一年年末的本利的和是
()
如果存款本金为100元,,,,。看来把利息加入到本金一次的时间越短,利息越多。那么,当这个时间
“无穷短”的时候,利息会无限增多吗?假设在这一年中,利息是每一瞬间(每一年有n个瞬间)加入到本金一次,上式中的12就变成n,就得到
()
为了便于计算,假设r/n=1/m,就得到n=mr,
()
这就归结到一个问题,就是求的值,即第二个重要极限。其值为e,,这时n年末就有,连续化以后,就得到()
,得到 P’(x)=r P(x),即导数和原函数成正比,凡是满足这个性质的,都叫复利率。例如植物的生长—它新生的部分都立即和母体一样再生长。这就是大自然的复利率,自然现象是不间断的、连续的,都属于此类问题。
可以通过y=ex在x=0的泰勒展开式,来近似计算这个极限值,首先计算y=ex的导数得y’=ex,进而可得(ex)(n)= ex。
当x=1时,可以得到
当n无限增大,得到e的值,即e=……于是,就得到了第二个重要极限的值。
如古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积时所用的割圆术,就是极限思想在几何学上的应用。
在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。函数的极限与自变量的变化过程密切相关,其自变量x的变化过程主要有两种,一种为任意地接近于某个有限值x0,另一种是|x|趋于无穷大。
如果在x→x0的过程中,对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A,那么就说A是函数f(x)当x→x0时的极限,记作:
如果在x→∞的过程中,对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A,那么就说