两道趣题的多种解法.doc

两道趣题的多种解法及推广
例1:传说很久很久以前,有位智慧老人,在他临死之前立下遗嘱,将他唯一的家产17头牛分给三个儿子,长子分,次子分,老三分,不能杀牛分肉,也不能伤害兄弟情谊。若无法分,就去找他老朋友黄老头。三兄弟无法分,只好去请教黄老头,老人略一思索,就把自己的一头牛让他们牵走,参与分配,结果长子分得了9头牛(18×=9),次子分得了6头牛(18×=6),老三分得了6头牛(18×=2)。他们刚好把17头牛分完,剩下的一头还给黄老头,三兄弟既高兴又满意。
这就是有名的黄老头分牛问题,它采用了一种奇特的技巧借一法,巧妙地解决了这一数学问题,令人回味无穷。我们再看下面的例子。
例2:有一家商店出售啤酒,它有一个规定,即三个啤酒瓶兑换一瓶啤酒。一位顾客从此店买了12瓶啤酒招待客人,问此人最多可从这家商店得到多少瓶啤酒喝?此题的一般解题思路是:喝完12瓶啤酒后,用12个空瓶又可兑换4瓶啤酒,喝完后,再用其中3个瓶子兑换一瓶啤酒,最后只剩下2个空瓶,即最多只能喝12+4+1=17瓶啤酒,并且剩下2个瓶子。似乎本题的求解到此结束,但是巧妙的方法是再借1个啤酒瓶,合起来共3个啤酒瓶,可兑换一瓶啤酒,喝完后,归还一个啤酒瓶,即最多可得到12+4+1+1=18瓶啤酒喝,本题也巧妙地采用了借一法的解题方法。
事实上,以上两个例子的求解可归结为无穷递缩等比数列求极限的问题,它们都属于无限可分的问题。其解答如下:
解法二
(例1)的解答:第一次分配
长子分17×头,次子分17×头,老三分17×头
而(1―――)=;也就是说还剩下总数的没参与分配,即还剩下头
第二次分配
长子分×头,次子分×头,老三分×头
同样剩下参与本次分配数目的,本次分配结束就剩下头
……
这个过程可一直延续下去,直至无穷,这样,每一次分配结束后,都余下上次分牛剩余数目的没参与分配。
∴长子分得的牛为:
17×+×+×+…+×+…
=(1+++…++…)
=()
=9(头)
次子分得的牛为:
17×+×+×+…+×+…
=(1+++…++…)
=()
=6(头)
老三分得的牛为:
17×+×+×+…+×+…
=(1+++…++…)
=()
=2(头)
(例2)的解答:喝完12瓶啤酒后,用12个瓶子可兑换12×瓶啤酒,用12×个空瓶子又可兑换12×瓶啤酒,所以,此过程可一直持续下去,直至无穷。
故最多能得到的啤酒为:
12+12×+12×+…+12×+…
=12(1+++…++…)
=12()
=18(瓶)
上面的两个趣题还可用下面的方法来求解。
解法三
(例1)的解答:设长子、次子、老三各分得的牛为x、x、x,由题意可得:
x+x+x=17 解之得 x=18
∴长子分得的牛为:×18=9(头)
次子分得的牛为:×18=6(头)
老三分得的牛为:×18=2(头)
(例2)的解答:由题意,三个瓶子可兑换一瓶啤酒
即:三个瓶子的价值=一个瓶子的价值+一瓶纯啤酒的价值
∴2个瓶子的价值=1瓶纯啤酒的价值
∴12个啤酒瓶可兑换(12÷2=)6瓶纯啤酒
故此人最多可得到的啤酒为12+=18(瓶)
实际上,例1可归结为这样的数学问题:有x-1(x为正整数)件