全称量词与存在量.ppt

全称量词与存在量词
思考:
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?
(1)x>3;
(2)2x+1是整数;
(3)对所有的x∈R,x>3;
(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。
语句(1)(2)不能判断真假,不是命题;
语句(3)(4)可以判断真假,是命题。
全称量词、全称命题定义:
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示。含有全称量词的命题,叫做全称命题。
常见的全称量词还有
“一切”“每一个”
“任意”“所有的”等。
全称命题举例:
全称命题符号记法:
命题:对任意的n∈Z,2n+1是奇数;
所有的正方形都是矩形。
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示,变量x
的取值范围用M表示,那么,
全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为:
读作“对任意x属于M,有p(x)成立”。
解:(1)假命题; (2)真命题; (3)假命题。
例1 判断下列全称命题的真假:
(1)所有的素数都是奇数;
(2) ;
(3)对每一个无理数x,x2也是无理数。
小结:
——需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立
——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立即可
(举反例)
练****br/>1 判断下列全称命题的真假:
(1)每个指数函数都是单调函数;
(2)任何实数都有算术平方根;
(3)
思考:
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?
(1)2x+1=3;
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x0∈R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x0∈Z,x能被2和3整除。
语句(1)(2)不能判断真假,不是命题;
语句(3)(4)可以判断真假,是命题。
存在量词、特称命题定义:
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示。含有存在量词的命题,叫做特称命题。
常见的存在量词还有
“有些”“有一个”
“对某个”“有的”等。
特称命题举例:
特称命题符号记法:
命题:有的平行四边形是菱形;
有一个素数不是奇数。
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示,变量x
的取值范围用M表示,那么,
特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为:
读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”。
解:(1)假命题; (2)假命题; (3)真命题。
例2 判断下列特称命题的真假:
(1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0;
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线;
(3)有些整数只有两个正因数。
小结:
——需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在。
——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成立即可
(举例证明)
练****br/>2 判断下列特称命题的真假:
(1)
(2)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;
(3) 。
解:(1)真命题; (2)真命题; (3)真命题。
例3 用符号“”与“”表达下列命题:
(1)任意实数的绝对值都大于零;
(2)存在这样的实数它的平方等于它本身。
(3)任一个实数乘以-1都等于它的相反数;
(4)存在实数x,x3>x2;