全称量词与存在量词.ppt

全称量词与存在量词
思考1:下列语句是命题吗?(1)与(3)、(2)与(4)之间有什么关系?
(1)x>3;
(2)2x+1是整数;
(3)对所有的x∈R,x>3;
(4)对任意一个x∈z,2x+1是整数。
(1),(2)不是命题,但是(3),(4)是陈述句,
并且能判定真假,所以(3)(4)是命题
短语“所有的”、“任意一个”“都是”、“每一个”、“任何”等在逻辑中通常叫做全称量词。
全称命题:含有全称量词的命题.
全称量词常用符号“∀”表示。通常将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)、…表示,变量x的取值范围用M表示,那么,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为:
∀x∈M,p(x)
读作:对任意x属于M,有p(x)成立。
例1:判断下列全称命题的真假。
(1)所有的素数都是奇数。
(2)∀x∈R,x2+1≥1
(3)对每一个无理数x,x2也是无理数。
假,例如素数2.
真
假,如
全称命题强调命题的一般性,对一个全称命题, ∀x∈M,p(x),
(1)要证明它是真命题,需对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立。
(2)要判断它是假命题,只要在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立即可。
如何判断全称命题的真假?
练****1:判断下列全称命题的真假。
(1)每个指数函数,都是单调函数。
(2)任何实数都有算术平方根。
(3) ∀x0∈{x|x是无理数},x02是无理数。
(4)内接于圆的四边形是等腰梯形。
真命题
假命题
假命题
假命题
后面三道为什么是假的呢?如何把它们变成真的呢?
思考:下列语句是命题吗?
(1)与(3)、(2)与(4)之间有什么关系?
(1)2x+1=3;
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x0∈R,使2x0+1=3;
(4)至少有一个x0∈Z,x0能被2和3整除。
(1)(2)不是命题。(3)(4)是陈述句,并且能判定真假,所以(3)(4)是命题。
思考:(1)与(3)、(2)与(4)之间有什么关系?
(1)2x+1=3;
(3)存在一个x0∈R,使2x0+1=3;
(2)x能被2和3整除;
(4)至少有一个x0∈z,x0能被2和3整除。
短语“存在一个”、“至少有一个”、“有一些”、“对某个”在逻辑中通常叫做存在量词。
特称命题:含有存在量词的命题。
存在量词用符号“∃”表示
特称命题“存在M中的元素x,使 p(x)成立”用符号表示为:∃x∈M,p(x)
读作:“存在元素x属于M,使p(x)成立。”
例2:判断下列特称命题的真假。
(1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0
(2)存在两个相交平面,垂直于同一条直线。
(3)有些整数只有两个正因数。
留意到x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,故为假。
垂直于同一条直线两平面平行,故为假。
比如,存在3只有两个正因数,故为真。