第3讲 组合问题.doc

第三讲组合问题
知识要点
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关。如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合,例如ab与ba是两个不同的排列,但它们却是同一个组合。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示,例如,从8个不同元素中取出5个元素的组合数表示为,从7个不同元素中取出6个元素的组合数表示为。
一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可分为以下2步:
第1步,先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数;
第2步,求每个组合中m个元素的全排列数。
根据分步计数原理,得到:,
因此:
这里,并且,这个公式叫做组合数公式。
例如,。
因为,
所以,上面的组合数公式还可以写成
典型例题
例1 计算:(1) (2)
例2 (1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?
例3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球。
(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?
(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
例4 在100件产品中,有98件合格品,2件次品,从这100件产品中任意抽出3件
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
练****题

,3,5,7,9中任取3个数字,从2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位数?
:(1)从5个元素中任取2个元素的所有组合;
(2)从5个元素中任取3个元素的所有组合。
。
(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),“4”朝上的概率是。
,现要从中抽取“幸运观众”10名,张华同学打通了一次热线电话,那么他成为“幸运观众”的概率为。
,2,3,4,5,6,7,8中任取两个数,这两个数(1)积恰好等于24的概率是;(2)和恰好等于9的概率是。
,2,3,…,500这500个自然数中,任意取出一个自然数,那么这个数能被7整除的概率是,这个数能被2整除又能被3整除的概率是。
,则出现结果均为反面的概率是,出现结果为一次正面、二次反面的概率是。
10.(1)空间有8个点,其中任何4点不共面,过每3个点作一个平面,一共可以作多少个平面?
(2)空间有10个点,其中任何4点不共面,以每4个点为顶点作一个四面体,一共可以作多少个四面体?
,有2件次品,从中任取5件:
(1)