高数2XL考试复习资料.docx

高数2(工科)考试复****资料
虽然下面内容很少,但我又不是专门弄这些的每天只能抽出一点时间来做,花了一个月才弄好,希望这些东西还是有些用吧
偏导数
=x2+3xy+y2
∂z∂x=2x+3y
∂z∂y=3x+2y
例2,求z=x2sin2y
∂z∂x=2xsin2y
∂z∂x=2 x2cos2y
例3,求z=xylnx
∂z∂x=yxy-1
∂z∂y=xylnx
全微分
dz=∂z∂x∆x+∂z∂y∆y
例6,设计算z=x2y+y2的全微分
∂z∂x=2xy
∂z∂y=x2y+2y
dz=2xydx+*(x2+2y)dy
例4,设w=f(x+y+x,xyz),求∂w∂x及∂w∂y∂z
解令u=x+y+z,v=xyz,则w=f(u,v)
注1代表第一变量u,2代表第二变量
f'1==∂f∂u
f'2同上
f''12=∂x2f∂u∂v
∂w∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x=f'1×1+f'2×(yz)=f'1+yzf'2
∂w∂x∂z=∂∂z(f'1+yzf'2x)
=∂f'1∂z+∂yzf'2∂z=∂f'1∂u×∂u∂z+∂f'1∂v×∂v∂z+yf'2+yz∂f'2∂z
=f''11+xyf''12+[yf'2+yz(∂f'2∂u×∂u∂z+∂f'2∂v×∂v∂z)]
=f''11+xyf''12+yf'2+yzf''21+xyf''22
因f''12=f''21
故=f''11+yx+zf''12+yf'2+xy2zf''22
隐函数
dydx=-FxFy
多元函数极值求法
fxx*fyy-fxy2>0,则fxx<0有极大值fxx>0有极小值
fxx*fyy-fxy2<0则无极值
fxx*fyy-fxy2=0则需进一步判定极值有无
有偏导数的函数极值必为驻点
函数的驻点不一定是极值点
二重积分
无穷级数
幂级数求和函数解法xnn型先求导,值为数列极限,将极限积分得和函数nxn-1或2nx2n-1型,先积分,值为数列的极限,将极限求导可得和函数
常用的幂级数展开式
ex=1+x+x22!+…+xnn!+…=n=0∞xnn!
sinx=x-x33!+x55!+…+(-1)nx2n+1(2n+1)!+…=0∞-12n+1!x2n+1
11-x=1+x+x2+…+xn+…=0∞xn
cosx=1-x22!+x44!+…+(-1)nx2n2n!
求n=1∞nxn-1的和函数
令sx=n=1∞nxn-1
则0xsxdx=n=1∞xn
n=1∞xn=x1-x ,(|x|)<1 ; //*n=1∞nxn-1的极限是x1-x
sx=x1-x'=11-x2
1+11+12+13+…+1n+…发散
缺少幂的项不能用用定理ρ=limn→∞an+1an求出
例4,求幂级数0∞(2n)!(n!)2x2n的收敛半径
limsn+1sn=4|x|2
当4|x|2<1时,级数收敛
当4|x|2>1时,级数发散
交错级数1-12+13-14+…+(-1)n-11n+…收敛
例6 (P-214)
求幂级数0∞xnn+1的和函数
解:1,求收敛域
由limn→∞an+1an+2=limn→∞n+1n+2=1,有收敛半径R=1ρ=11=1
当x=1时,幂级数是发散函数,当x=-1时,幂级数是收敛函数,
故其收敛域为I=[-1,1)
2,设和函数为s(x)求幂级数
s(x)=0∞xnn+1,x∈-1,1
故xs(x)=0∞xn+1n+1
将xs(x)逐项求导得xs(x)'=1+x1+x2+x3+…+xn+…,(-1≤x<1)
xsx'=1-xn+11-x
因1-xn+1→1,(-1≤x<1)
故
limn→∞1-xn+11-x=11-x
3,对上式从0到x项积分
xsx=0x11-xdx=-ln1-x, (-1≤1<1)
当x≠0时,sx=-1xln1-x
当x=0时,s0=a0=1
故sx=-1xln1-x,x∈-1,0∪(0,1]1,x=0
函数展开成幂级数
1,求各阶导数
2,求各阶导数在x=0时的值
3,写出幂级数。并求出收敛半径
4,验证余项极限是否为0
例1
将函数f(x)=ex展开成x的幂级数
f(0)=1,f(0)'=1,f(0)''=1
幂级数sx=1+x+x22!+…+xnn!+…,R=+∞
ex=s(x)即ex=1+x+x22!+…+xnn!+…,R=+∞
例2
将函数f(x)=sinx展开成x的幂级数
fnx=sinx+nπ2, n=0,1,2,3…
则有f(n)无限循环的取0,1,0,-1,0...
幂级数sx=x-x33!+x55!