第五章-1.1-1.2数系的扩充与复数的引入.docx

§1 数系的扩充与复数的引入
数的概念的扩展
复数的有关概念
[学****目标]
,了解数集的扩充过程.
.
,理解复数相等的充要条件.
.
[知识链接]
为解决方程x2=2,数系从有理数扩充到实数;数的概念扩充到实数集后,人们发现在实数范围内很多问题还不能解决,如从解方程的角度看,象x2=-1这个方程在实数范围内就无解,那么怎样解决方程x2=-1在实数系中无根的问题呢?
答设想引入新数i,使i是方程x2=-1的根,即i·i=-1,方程x2=-1有解,同时得到一些新数.
[预****导引]

(1)复数
①定义:形如a+bi的数叫作复数,其中a,b∈R,i叫作虚数单位,a叫作复数的实部,b叫作复数的虚部.
②表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).
(2)复数集
①定义:复数的全体组成的集合叫作复数集.
②表示:通常用大写字母C表示.

(1)分类:复数(a+bi,a,b∈R)
(2)集合表示:
:a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.

(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b);
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量=(a,b).
:复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为,则的模叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,且|z|=.

要点一复数的概念
例1 请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数,还是纯虚数.
①2+3i;②-3+i;③+i;④π;⑤-i;⑥0.
解①的实部为2,虚部为3,是虚数;②的实部为-3,虚部为,是虚数;③的实部为,虚部为1,是虚数;④的实部为π,虚部为0,是实数;⑤的实部为0,虚部为-,是纯虚数;⑥的实部为0,虚部为0,是实数.
规律方法复数a+bi中,,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部.
跟踪演练1 实数m为何值时,复数z=+(m2+2m-3)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
解(1)要使z是实数,m需满足m2+2m-3=0,
且有意义即m-1≠0,解得m=-3.
(2)要使z是虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且有意义即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.
(3)要使z是纯虚数,m需满足=0,
且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2.
要点二两个复数相等
例2 (1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x、y的值.
(2)关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值.
解(1)∵x2-y2+2xyi=2i,
∴,解得,或
(2)设方程的实数根为x=m,则原方程可变为
3m2-m-1=(10-m-2m2)i,
∴解得a=11或a=-.
规律方法两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程,从而可以确定两个独立参数.
跟踪演练2 已知x,y均是实数,且满足(x+y)+(y-1)i