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第四节概率的基本公式
一概率的加法公式
概率具有有限可加性,即若事件A1,A2,…,An两两互不相容,即,则必有
P(A1∪A2∪…∪An)= P(A1)+ P(A2) +…+ P(An)
定理1 如果事件A与事件B互不相容,即
则
定理1可以推广到有限个事件的情况。
例1 有4人玩***游戏,甲发现自己多拿了一张牌,手中有红桃
4张,黑桃3张,方块2张,草花5张,共14张。而乙少拿一张,于是
从甲的14张牌中任意抽取一张,求抽到黑桃或方块的概率。
解设
则
且
故有
例2 袋中有7枚棋子,其中白色有4枚,黑色3枚,从中任取3枚,
求能取到白色棋子的概率。
解取3枚棋子,能取到白色棋子,可能取到1枚,或2枚,或3枚
白子。故设
则
且
两两互不相容,故有
推论2 互补性对任一事件A,有
证明:
因为
且
所以
对于例2,由于事件
则有
推论3 对任意事件A、B,则
定理2 加法公式对任意两个事件A,B,有
P(A∪B)=P(A)+P(B) - P(AB)
例3 某种产品的生产需经过甲、乙两道工序,若某道工序
机器出故障,则产品停止生产。已知甲、,,求产品停止生产的概率。
解设事件
则
已知
故有
例4 小李与老王通电话,老王处有甲、乙两部电话,,,,求小李与老王能通话的概率。
解设事件
则
且
已知
因此
由加法定理得
例5 某人外出旅游两天,据天气预报,,,,试求:
(1)“至少有一天下雨”的概率P(B),
(2)“两天都不下雨”的概率P(C),
(3)“至少有一天不下雨”的概率P(D)。
解设Ai表示事件“第i天下雨”,i=1,2,由题意
P(A1)=,P(A2)=,P(A1 A2)=
(3)
=+-=
(4)
(5)