导数的综合应用一.pptx

题型一函数的极值与导数
【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,
-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.
(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;
(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极
值.
(1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关
于y轴对称可求m,′(x)>0及f′(x)<0可求单
调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值
点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.
题型分类深度剖析
思维启迪
解(1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),
得m-n=-3. ①
由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
而g(x)的图象关于y轴对称,所以
所以m=-①得n=0.
于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
由f′(x)>0得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞);
由f′(x)<0,得0<x<2,
故f(x)的单调递减区间是(0,2).
(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2),
令f′(x)=0得x=0或x=2.
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
由此可得:
当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无
极小值;
当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无
极大值;
当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.
综上得,当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值;
当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值;
当a=1或a≥3时,f(x)无极值.
(1)注意体会求函数极值的基本步骤,列
表可使解题过程更加清晰规范.
(2)要求函数f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值,需对参
数a进行讨论.
探究提高
知能迁移1 已知函数
(a为常数),求函数f(x)的极值.
解由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1},
①当a>0时,由f′(x)=0,得
当x∈(1,x1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
题型二函数的最值与导数
【例2】已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实
数a、b使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值
-29,若存在,求出a、b的值;若不存在,请说明
理由.
(1)研究函数f(x)在[-1,2]上的单调性;
(2)确定f(x)在[-1,2]上的最大、最小值;
(3)列方程组求a、b.
解由f(x)=ax3-6ax2+b得f′(x)=3ax2-12ax
=3ax(x-4).
当a=0时,f′(x)=0,f(x)=b不能使f(x)在[-1,2]
上取最大值3,最小值-29.
思维启迪
当a>0时,令f′(x)=0,得x1=0,x2=4在区间
[-1,2]上,
当a<0,令f′(x)=0得x1=0,x2=4在区间[-1,2]上,
x
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
-
-
0
+
+
f(x)
-7a+b

极小值b

-16a+b